Theorem fnmgp 13900

Description: The multiplicative group operator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnmgp	|- mulGrp Fn _V

Proof of Theorem fnmgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2802	. . 3 |- x e. _V
2		plusgslid 13160	. . . 4 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
3	2	simpri 113	. . 3 |- ( +g ` ndx ) e. NN
4		mulrslid 13180	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
5	4	slotex 13074	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( .r ` x ) e. _V )
6	5	elv 2803	. . 3 |- ( .r ` x ) e. _V
7		setsex 13079	. . 3 |- ( ( x e. _V /\ ( +g ` ndx ) e. NN /\ ( .r ` x ) e. _V ) -> ( x sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` x ) >. ) e. _V )
8	1, 3, 6, 7	mp3an 1371	. 2 |- ( x sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` x ) >. ) e. _V
9		df-mgp 13899	. 2 |- mulGrp = ( x e. _V |-> ( x sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` x ) >. ) )
10	8, 9	fnmpti 5452	1 |- mulGrp Fn _V

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   <.cop 3669   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   NNcn 9121   ndxcnx 13044   sSet csts 13045  Slot cslot 13046   +g cplusg 13125   .rcmulr 13126  mulGrpcmgp 13898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-sets 13054  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-mgp 13899

This theorem is referenced by:  mgptopng  13907  rngmgpf  13915  ringidvalg  13939  dfur2g  13940  mgpf  13989