Theorem fnmgp 13054

Description: The multiplicative group operator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnmgp	|- mulGrp Fn _V

Proof of Theorem fnmgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2740	. . 3 |- x e. _V
2		plusgslid 12562	. . . 4 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
3	2	simpri 113	. . 3 |- ( +g ` ndx ) e. NN
4		mulrslid 12581	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
5	4	slotex 12480	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( .r ` x ) e. _V )
6	5	elv 2741	. . 3 |- ( .r ` x ) e. _V
7		setsex 12485	. . 3 |- ( ( x e. _V /\ ( +g ` ndx ) e. NN /\ ( .r ` x ) e. _V ) -> ( x sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` x ) >. ) e. _V )
8	1, 3, 6, 7	mp3an 1337	. 2 |- ( x sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` x ) >. ) e. _V
9		df-mgp 13053	. 2 |- mulGrp = ( x e. _V |-> ( x sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` x ) >. ) )
10	8, 9	fnmpti 5342	1 |- mulGrp Fn _V

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   <.cop 3595   Fn wfn 5209   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   NNcn 8914   ndxcnx 12450   sSet csts 12451  Slot cslot 12452   +g cplusg 12527   .rcmulr 12528  mulGrpcmgp 13052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1re 7901  ax-addrcl 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-ndx 12456  df-slot 12457  df-sets 12460  df-plusg 12540  df-mulr 12541  df-mgp 13053

This theorem is referenced by:  mgptopng  13061  ringidvalg  13066  dfur2g  13067  mgpf  13116