Theorem fnmgp 14161

Description: The multiplicative group operator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnmgp	|- mulGrp Fn _V

Proof of Theorem fnmgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2818	. . 3 |- x e. _V
2		plusgslid 13409	. . . 4 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
3	2	simpri 113	. . 3 |- ( +g ` ndx ) e. NN
4		mulrslid 13429	. . . . 5 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
5	4	slotex 13323	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( .r ` x ) e. _V )
6	5	elv 2819	. . 3 |- ( .r ` x ) e. _V
7		setsex 13328	. . 3 |- ( ( x e. _V /\ ( +g ` ndx ) e. NN /\ ( .r ` x ) e. _V ) -> ( x sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` x ) >. ) e. _V )
8	1, 3, 6, 7	mp3an 1374	. 2 |- ( x sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` x ) >. ) e. _V
9		df-mgp 14160	. 2 |- mulGrp = ( x e. _V |-> ( x sSet <. ( +g ` ndx ) , ( .r ` x ) >. ) )
10	8, 9	fnmpti 5492	1 |- mulGrp Fn _V

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   <.cop 3697   Fn wfn 5352   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   NNcn 9254   ndxcnx 13293   sSet csts 13294  Slot cslot 13295   +g cplusg 13374   .rcmulr 13375  mulGrpcmgp 14159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-mgp 14160

This theorem is referenced by:  mgptopng  14168  rngmgpf  14176  ringidvalg  14204  dfur2g  14205  mgpf  14254