Theorem topnfn 13656

Description: The topology extractor function is a function on the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topnfn	|- TopOpen Fn _V

Proof of Theorem topnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restfn 13655	. . 3 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
2		tsetslid 13600	. . . . 5 |- (TopSet = Slot (TopSet ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) e. NN )
3	2	slotex 13436	. . . 4 |- ( w e. _V -> (TopSet ` w ) e. _V )
4	3	elv 2825	. . 3 |- (TopSet ` w ) e. _V
5		baseslid 13467	. . . . 5 |- ( Base = Slot ( Base ` ndx ) /\ ( Base ` ndx ) e. NN )
6	5	slotex 13436	. . . 4 |- ( w e. _V -> ( Base ` w ) e. _V )
7	6	elv 2825	. . 3 |- ( Base ` w ) e. _V
8		fnovex 6121	. . 3 |- ( ( ↾t Fn ( _V X. _V ) /\ (TopSet ` w ) e. _V /\ ( Base ` w ) e. _V ) -> ( (TopSet ` w ) ↾t ( Base ` w ) ) e. _V )
9	1, 4, 7, 8	mp3an 1378	. 2 |- ( (TopSet ` w ) ↾t ( Base ` w ) ) e. _V
10		df-topn 13654	. 2 |- TopOpen = ( w e. _V |-> ( (TopSet ` w ) ↾t ( Base ` w ) ) )
11	9, 10	fnmpti 5515	1 |- TopOpen Fn _V

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   X. cxp 4774   Fn wfn 5375   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13409  TopSetcts 13495   ↾_t crest 13651   TopOpenctopn 13652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-tset 13508  df-rest 13653  df-topn 13654

This theorem is used by:  prdsex  14278  prdsval  14279  prdsbaslemss  14280  psrval  15160  fnpsr  15161  psrbasg  15187  psrplusgg  15191  psrmulrg  15195  istps  15275