Theorem omexg 6387

Description: Ordinal multiplication is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A .o B ) e. _V )

Proof of Theorem omexg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2712	. . . 4 |- y e. _V
2		0ex 4087	. . . . 5 |- (/) e. _V
3		vex 2712	. . . . . 6 |- x e. _V
4		omfnex 6385	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) Fn _V )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) Fn _V
6	2, 5	rdgexg 6326	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V )
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V
8	7	gen2 1427	. 2 |- A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V
9		df-omul 6358	. . 3 |- .o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) )
10	9	mpofvex 6141	. 2 |- ( ( A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( A .o B ) e. _V )
11	8, 10	mp3an1 1303	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A .o B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1330   e. wcel 2125   _Vcvv 2709   (/)c0 3390   |-> cmpt 4021   Oncon0 4318   Fn wfn 5158   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   reccrdg 6306   +o coa 6350   .o comu 6351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-oadd 6357  df-omul 6358

This theorem is referenced by:  fnoei  6388  oeiexg  6389  oeiv  6392  omv2  6401