Theorem omexg 6277

Description: Ordinal multiplication is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A .o B ) e. _V )

Proof of Theorem omexg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2644	. . . 4 |- y e. _V
2		0ex 3995	. . . . 5 |- (/) e. _V
3		vex 2644	. . . . . 6 |- x e. _V
4		omfnex 6275	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) Fn _V )
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) Fn _V
6	2, 5	rdgexg 6216	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V )
7	1, 6	ax-mp 7	. . 3 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V
8	7	gen2 1394	. 2 |- A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V
9		df-omul 6248	. . 3 |- .o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) )
10	9	mpofvex 6031	. 2 |- ( ( A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> ( z +o x ) ) , (/) ) ` y ) e. _V /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( A .o B ) e. _V )
11	8, 10	mp3an1 1270	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A .o B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1297   e. wcel 1448   _Vcvv 2641   (/)c0 3310   |-> cmpt 3929   Oncon0 4223   Fn wfn 5054   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   reccrdg 6196   +o coa 6240   .o comu 6241

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-oadd 6247  df-omul 6248

This theorem is referenced by:  fnoei  6278  oeiexg  6279  oeiv  6282  omv2  6291