Theorem fnom 6490

Description: Functionality and domain of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnom	⊢ ·o Fn (On × On)

Proof of Theorem fnom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-omul 6461	. 2 ⊢ ·o = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦))
2		vex 2759	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		0ex 4152	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4		vex 2759	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		omfnex 6489	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)) Fn V)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)) Fn V
7	3, 6	rdgexg 6429	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V)
8	2, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V
9	1, 8	fnmpoi 6244	1 ⊢ ·o Fn (On × On)

Syntax hints:   ∈ wcel 2160  Vcvv 2756  ∅c0 3442   ↦ cmpt 4086  Oncon0 4388   × cxp 4649   Fn wfn 5237  ‘cfv 5242  (class class class)co 5906  reccrdg 6409   +_o coa 6453   ·_o comu 6454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-iord 4391  df-on 4393  df-suc 4396  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-recs 6345  df-irdg 6410  df-oadd 6460  df-omul 6461

This theorem is referenced by:  dmmulpi  7372