Theorem fnom 6517

Description: Functionality and domain of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnom	⊢ ·o Fn (On × On)

Proof of Theorem fnom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-omul 6488	. 2 ⊢ ·o = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦))
2		vex 2766	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		0ex 4161	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		omfnex 6516	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)) Fn V)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)) Fn V
7	3, 6	rdgexg 6456	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V)
8	2, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 +o 𝑥)), ∅)‘𝑦) ∈ V
9	1, 8	fnmpoi 6270	1 ⊢ ·o Fn (On × On)

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  ∅c0 3451   ↦ cmpt 4095  Oncon0 4399   × cxp 4662   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  reccrdg 6436   +_o coa 6480   ·_o comu 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-oadd 6487  df-omul 6488

This theorem is referenced by:  dmmulpi  7410