Theorem dmmulpi 7410

Description: Domain of multiplication on positive integers. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmmulpi	|- dom .N = ( N. X. N. )

Proof of Theorem dmmulpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4968	. . 3 |- dom ( .o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i dom .o )
2		fnom 6517	. . . . 5 |- .o Fn ( On X. On )
3		fndm 5358	. . . . 5 |- ( .o Fn ( On X. On ) -> dom .o = ( On X. On ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- dom .o = ( On X. On )
5	4	ineq2i 3362	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) i^i dom .o ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
6	1, 5	eqtri 2217	. 2 |- dom ( .o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
7		df-mi 7390	. . 3 |- .N = ( .o |` ( N. X. N. ) )
8	7	dmeqi 4868	. 2 |- dom .N = dom ( .o |` ( N. X. N. ) )
9		df-ni 7388	. . . . . . 7 |- N. = ( om \ { (/) } )
10		difss 3290	. . . . . . 7 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
11	9, 10	eqsstri 3216	. . . . . 6 |- N. C_ om
12		omsson 4650	. . . . . 6 |- om C_ On
13	11, 12	sstri 3193	. . . . 5 |- N. C_ On
14		anidm 396	. . . . 5 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) <-> N. C_ On )
15	13, 14	mpbir 146	. . . 4 |- ( N. C_ On /\ N. C_ On )
16		xpss12 4771	. . . 4 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) -> ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( N. X. N. ) C_ ( On X. On )
18		dfss 3171	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) <-> ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) ) )
19	17, 18	mpbi 145	. 2 |- ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
20	6, 8, 19	3eqtr4i 2227	1 |- dom .N = ( N. X. N. )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   \ cdif 3154   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3451   {csn 3623   Oncon0 4399   omcom 4627   X. cxp 4662   dom cdm 4664   |` cres 4666   Fn wfn 5254   .o comu 6481   N.cnpi 7356   .N cmi 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-ni 7388  df-mi 7390

This theorem is referenced by: (None)