Theorem dmmulpi 7267

Description: Domain of multiplication on positive integers. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmmulpi	|- dom .N = ( N. X. N. )

Proof of Theorem dmmulpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4905	. . 3 |- dom ( .o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i dom .o )
2		fnom 6418	. . . . 5 |- .o Fn ( On X. On )
3		fndm 5287	. . . . 5 |- ( .o Fn ( On X. On ) -> dom .o = ( On X. On ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- dom .o = ( On X. On )
5	4	ineq2i 3320	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) i^i dom .o ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
6	1, 5	eqtri 2186	. 2 |- dom ( .o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
7		df-mi 7247	. . 3 |- .N = ( .o |` ( N. X. N. ) )
8	7	dmeqi 4805	. 2 |- dom .N = dom ( .o |` ( N. X. N. ) )
9		df-ni 7245	. . . . . . 7 |- N. = ( om \ { (/) } )
10		difss 3248	. . . . . . 7 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
11	9, 10	eqsstri 3174	. . . . . 6 |- N. C_ om
12		omsson 4590	. . . . . 6 |- om C_ On
13	11, 12	sstri 3151	. . . . 5 |- N. C_ On
14		anidm 394	. . . . 5 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) <-> N. C_ On )
15	13, 14	mpbir 145	. . . 4 |- ( N. C_ On /\ N. C_ On )
16		xpss12 4711	. . . 4 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) -> ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( N. X. N. ) C_ ( On X. On )
18		dfss 3130	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) <-> ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) ) )
19	17, 18	mpbi 144	. 2 |- ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
20	6, 8, 19	3eqtr4i 2196	1 |- dom .N = ( N. X. N. )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   \ cdif 3113   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   Oncon0 4341   omcom 4567   X. cxp 4602   dom cdm 4604   |` cres 4606   Fn wfn 5183   .o comu 6382   N.cnpi 7213   .N cmi 7215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-ni 7245  df-mi 7247

This theorem is referenced by: (None)