Theorem dmmulpi 7292

Description: Domain of multiplication on positive integers. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmmulpi	|- dom .N = ( N. X. N. )

Proof of Theorem dmmulpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4913	. . 3 |- dom ( .o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i dom .o )
2		fnom 6433	. . . . 5 |- .o Fn ( On X. On )
3		fndm 5299	. . . . 5 |- ( .o Fn ( On X. On ) -> dom .o = ( On X. On ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- dom .o = ( On X. On )
5	4	ineq2i 3326	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) i^i dom .o ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
6	1, 5	eqtri 2192	. 2 |- dom ( .o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
7		df-mi 7272	. . 3 |- .N = ( .o |` ( N. X. N. ) )
8	7	dmeqi 4813	. 2 |- dom .N = dom ( .o |` ( N. X. N. ) )
9		df-ni 7270	. . . . . . 7 |- N. = ( om \ { (/) } )
10		difss 3254	. . . . . . 7 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
11	9, 10	eqsstri 3180	. . . . . 6 |- N. C_ om
12		omsson 4598	. . . . . 6 |- om C_ On
13	11, 12	sstri 3157	. . . . 5 |- N. C_ On
14		anidm 394	. . . . 5 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) <-> N. C_ On )
15	13, 14	mpbir 145	. . . 4 |- ( N. C_ On /\ N. C_ On )
16		xpss12 4719	. . . 4 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) -> ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( N. X. N. ) C_ ( On X. On )
18		dfss 3136	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) <-> ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) ) )
19	17, 18	mpbi 144	. 2 |- ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
20	6, 8, 19	3eqtr4i 2202	1 |- dom .N = ( N. X. N. )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1349   \ cdif 3119   i^i cin 3121   C_ wss 3122   (/)c0 3415   {csn 3584   Oncon0 4349   omcom 4575   X. cxp 4610   dom cdm 4612   |` cres 4614   Fn wfn 5195   .o comu 6397   N.cnpi 7238   .N cmi 7240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-iord 4352  df-on 4354  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-irdg 6353  df-oadd 6403  df-omul 6404  df-ni 7270  df-mi 7272

This theorem is referenced by: (None)