ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fundmfibi GIF version

Theorem fundmfibi 6931
Description: A function is finite if and only if its domain is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
fundmfibi (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem fundmfibi
StepHypRef Expression
1 fundmfi 6930 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ Fun 𝐹) → dom 𝐹 ∈ Fin)
21ancoms 268 . 2 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ∈ Fin)
3 funfn 5241 . . 3 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
4 fnfi 6929 . . 3 ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
53, 4sylanb 284 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
62, 5impbida 596 1 (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  wcel 2148  dom cdm 4622  Fun wfun 5205   Fn wfn 5206  Fincfn 6733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-1o 6410  df-er 6528  df-en 6734  df-fin 6736
This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  6936  fihasheqf1oi  10738  negfi  11207
  Copyright terms: Public domain W3C validator