Theorem fvsetsid 12981

Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fvsetsid	|- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = Y )

Proof of Theorem fvsetsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvala 12978	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( F sSet <. X , Y >. ) = ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) )
2	1	fveq1d 5601	. 2 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
3		simp2 1001	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> X e. W )
4		simp3 1002	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> Y e. U )
5		neldifsn 3774	. . . . 5 |- -. X e. ( _V \ { X } )
6		dmres 4999	. . . . . . 7 |- dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) = ( ( _V \ { X } ) i^i dom F )
7		inss1 3401	. . . . . . 7 |- ( ( _V \ { X } ) i^i dom F ) C_ ( _V \ { X } )
8	6, 7	eqsstri 3233	. . . . . 6 |- dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) C_ ( _V \ { X } )
9	8	sseli 3197	. . . . 5 |- ( X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) -> X e. ( _V \ { X } ) )
10	5, 9	mto 664	. . . 4 |- -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) )
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) )
12		fsnunfv 5808	. . 3 |- ( ( X e. W /\ Y e. U /\ -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) ) -> ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )
13	3, 4, 11, 12	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )
14	2, 13	eqtrd 2240	1 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   \ cdif 3171   u. cun 3172   i^i cin 3173   {csn 3643   <.cop 3646   dom cdm 4693   |` cres 4695   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   sSet csts 12945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sets 12954

This theorem is referenced by: (None)