Theorem fvsetsid 13179

Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fvsetsid	|- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = Y )

Proof of Theorem fvsetsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvala 13176	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( F sSet <. X , Y >. ) = ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) )
2	1	fveq1d 5650	. 2 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
3		simp2 1025	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> X e. W )
4		simp3 1026	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> Y e. U )
5		neldifsn 3807	. . . . 5 |- -. X e. ( _V \ { X } )
6		dmres 5040	. . . . . . 7 |- dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) = ( ( _V \ { X } ) i^i dom F )
7		inss1 3429	. . . . . . 7 |- ( ( _V \ { X } ) i^i dom F ) C_ ( _V \ { X } )
8	6, 7	eqsstri 3260	. . . . . 6 |- dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) C_ ( _V \ { X } )
9	8	sseli 3224	. . . . 5 |- ( X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) -> X e. ( _V \ { X } ) )
10	5, 9	mto 668	. . . 4 |- -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) )
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) )
12		fsnunfv 5863	. . 3 |- ( ( X e. W /\ Y e. U /\ -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) ) -> ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )
13	3, 4, 11, 12	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )
14	2, 13	eqtrd 2264	1 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   \ cdif 3198   u. cun 3199   i^i cin 3200   {csn 3673   <.cop 3676   dom cdm 4731   |` cres 4733   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   sSet csts 13143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sets 13152

This theorem is referenced by: (None)