ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvsetsid Unicode version

Theorem fvsetsid 12007
Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
fvsetsid  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  ( ( F sSet  <. X ,  Y >. ) `  X )  =  Y )

Proof of Theorem fvsetsid
StepHypRef Expression
1 setsvala 12004 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  ( F sSet  <. X ,  Y >. )  =  ( ( F  |`  ( _V  \  { X }
) )  u.  { <. X ,  Y >. } ) )
21fveq1d 5423 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  ( ( F sSet  <. X ,  Y >. ) `  X )  =  ( ( ( F  |`  ( _V  \  { X } ) )  u. 
{ <. X ,  Y >. } ) `  X
) )
3 simp2 982 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  W )
4 simp3 983 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  U )
5 neldifsn 3653 . . . . 5  |-  -.  X  e.  ( _V  \  { X } )
6 dmres 4840 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  |`  ( _V  \  { X } ) )  =  ( ( _V 
\  { X }
)  i^i  dom  F )
7 inss1 3296 . . . . . . 7  |-  ( ( _V  \  { X } )  i^i  dom  F )  C_  ( _V  \  { X } )
86, 7eqsstri 3129 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  ( _V  \  { X } ) ) 
C_  ( _V  \  { X } )
98sseli 3093 . . . . 5  |-  ( X  e.  dom  ( F  |`  ( _V  \  { X } ) )  ->  X  e.  ( _V  \  { X } ) )
105, 9mto 651 . . . 4  |-  -.  X  e.  dom  ( F  |`  ( _V  \  { X } ) )
1110a1i 9 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  -.  X  e.  dom  ( F  |`  ( _V 
\  { X }
) ) )
12 fsnunfv 5621 . . 3  |-  ( ( X  e.  W  /\  Y  e.  U  /\  -.  X  e.  dom  ( F  |`  ( _V 
\  { X }
) ) )  -> 
( ( ( F  |`  ( _V  \  { X } ) )  u. 
{ <. X ,  Y >. } ) `  X
)  =  Y )
133, 4, 11, 12syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  ( ( ( F  |`  ( _V  \  { X } ) )  u. 
{ <. X ,  Y >. } ) `  X
)  =  Y )
142, 13eqtrd 2172 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  W  /\  Y  e.  U )  ->  ( ( F sSet  <. X ,  Y >. ) `  X )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686    \ cdif 3068    u. cun 3069    i^i cin 3070   {csn 3527   <.cop 3530   dom cdm 4539    |` cres 4541   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   sSet csts 11971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sets 11980
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator