Theorem fvsetsid 12712

Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fvsetsid	|- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = Y )

Proof of Theorem fvsetsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvala 12709	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( F sSet <. X , Y >. ) = ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) )
2	1	fveq1d 5560	. 2 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
3		simp2 1000	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> X e. W )
4		simp3 1001	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> Y e. U )
5		neldifsn 3752	. . . . 5 |- -. X e. ( _V \ { X } )
6		dmres 4967	. . . . . . 7 |- dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) = ( ( _V \ { X } ) i^i dom F )
7		inss1 3383	. . . . . . 7 |- ( ( _V \ { X } ) i^i dom F ) C_ ( _V \ { X } )
8	6, 7	eqsstri 3215	. . . . . 6 |- dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) C_ ( _V \ { X } )
9	8	sseli 3179	. . . . 5 |- ( X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) -> X e. ( _V \ { X } ) )
10	5, 9	mto 663	. . . 4 |- -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) )
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) )
12		fsnunfv 5763	. . 3 |- ( ( X e. W /\ Y e. U /\ -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) ) -> ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )
13	3, 4, 11, 12	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )
14	2, 13	eqtrd 2229	1 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   \ cdif 3154   u. cun 3155   i^i cin 3156   {csn 3622   <.cop 3625   dom cdm 4663   |` cres 4665   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   sSet csts 12676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sets 12685

This theorem is referenced by: (None)