Theorem fvsetsid 12428

Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fvsetsid	|- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = Y )

Proof of Theorem fvsetsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvala 12425	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( F sSet <. X , Y >. ) = ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) )
2	1	fveq1d 5488	. 2 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
3		simp2 988	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> X e. W )
4		simp3 989	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> Y e. U )
5		neldifsn 3706	. . . . 5 |- -. X e. ( _V \ { X } )
6		dmres 4905	. . . . . . 7 |- dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) = ( ( _V \ { X } ) i^i dom F )
7		inss1 3342	. . . . . . 7 |- ( ( _V \ { X } ) i^i dom F ) C_ ( _V \ { X } )
8	6, 7	eqsstri 3174	. . . . . 6 |- dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) C_ ( _V \ { X } )
9	8	sseli 3138	. . . . 5 |- ( X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) -> X e. ( _V \ { X } ) )
10	5, 9	mto 652	. . . 4 |- -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) )
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) )
12		fsnunfv 5686	. . 3 |- ( ( X e. W /\ Y e. U /\ -. X e. dom ( F |` ( _V \ { X } ) ) ) -> ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )
13	3, 4, 11, 12	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( ( F |` ( _V \ { X } ) ) u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )
14	2, 13	eqtrd 2198	1 |- ( ( F e. V /\ X e. W /\ Y e. U ) -> ( ( F sSet <. X , Y >. ) ` X ) = Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   u. cun 3114   i^i cin 3115   {csn 3576   <.cop 3579   dom cdm 4604   |` cres 4606   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   sSet csts 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sets 12401

This theorem is referenced by: (None)