ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvsetsid GIF version

Theorem fvsetsid 11920
Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
fvsetsid ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem fvsetsid
StepHypRef Expression
1 setsvala 11917 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
21fveq1d 5391 . 2 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))
3 simp2 967 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → 𝑋𝑊)
4 simp3 968 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → 𝑌𝑈)
5 neldifsn 3623 . . . . 5 ¬ 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋})
6 dmres 4810 . . . . . . 7 dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹)
7 inss1 3266 . . . . . . 7 ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹) ⊆ (V ∖ {𝑋})
86, 7eqsstri 3099 . . . . . 6 dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ⊆ (V ∖ {𝑋})
98sseli 3063 . . . . 5 (𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) → 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋}))
105, 9mto 636 . . . 4 ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))
1110a1i 9 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
12 fsnunfv 5589 . . 3 ((𝑋𝑊𝑌𝑈 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
133, 4, 11, 12syl3anc 1201 . 2 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
142, 13eqtrd 2150 1 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465  Vcvv 2660  cdif 3038  cun 3039  cin 3040  {csn 3497  cop 3500  dom cdm 4509  cres 4511  cfv 5093  (class class class)co 5742   sSet csts 11884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-res 4521  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sets 11893
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator