Theorem fz1sbc 9876

Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fz1sbc	|- ( N e. ZZ -> ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> [. N / k ]. ph ) )

Distinct variable group:   k, N

Allowed substitution hint:   ph( k)

Proof of Theorem fz1sbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc6g 2933	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( [. N / k ]. ph <-> A. k ( k = N -> ph ) ) )
2		df-ral 2421	. . 3 |- ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> A. k ( k e. ( N ... N ) -> ph ) )
3		elfz1eq 9815	. . . . . 6 |- ( k e. ( N ... N ) -> k = N )
4		elfz3 9814	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. ( N ... N ) )
5		eleq1 2202	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( k e. ( N ... N ) <-> N e. ( N ... N ) ) )
6	4, 5	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( k = N -> k e. ( N ... N ) ) )
7	3, 6	impbid2 142	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( k e. ( N ... N ) <-> k = N ) )
8	7	imbi1d 230	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( k e. ( N ... N ) -> ph ) <-> ( k = N -> ph ) ) )
9	8	albidv 1796	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( A. k ( k e. ( N ... N ) -> ph ) <-> A. k ( k = N -> ph ) ) )
10	2, 9	syl5rbb 192	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( A. k ( k = N -> ph ) <-> A. k e. ( N ... N ) ph ) )
11	1, 10	bitr2d 188	1 |- ( N e. ZZ -> ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> [. N / k ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   [.wsbc 2909  (class class class)co 5774   ZZcz 9054   ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-apti 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-neg 7936  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791

This theorem is referenced by: (None)