Theorem fz1sbc 10393

Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fz1sbc	|- ( N e. ZZ -> ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> [. N / k ]. ph ) )

Distinct variable group:   k, N

Allowed substitution hint:   ph( k)

Proof of Theorem fz1sbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc6g 3057	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( [. N / k ]. ph <-> A. k ( k = N -> ph ) ) )
2		df-ral 2516	. . 3 |- ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> A. k ( k e. ( N ... N ) -> ph ) )
3		elfz1eq 10332	. . . . . 6 |- ( k e. ( N ... N ) -> k = N )
4		elfz3 10331	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. ( N ... N ) )
5		eleq1 2294	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( k e. ( N ... N ) <-> N e. ( N ... N ) ) )
6	4, 5	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( k = N -> k e. ( N ... N ) ) )
7	3, 6	impbid2 143	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( k e. ( N ... N ) <-> k = N ) )
8	7	imbi1d 231	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( k e. ( N ... N ) -> ph ) <-> ( k = N -> ph ) ) )
9	8	albidv 1872	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( A. k ( k e. ( N ... N ) -> ph ) <-> A. k ( k = N -> ph ) ) )
10	2, 9	bitr2id 193	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( A. k ( k = N -> ph ) <-> A. k e. ( N ... N ) ph ) )
11	1, 10	bitr2d 189	1 |- ( N e. ZZ -> ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> [. N / k ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   [.wsbc 3032  (class class class)co 6028   ZZcz 9540   ...cfz 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-apti 8207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-neg 8412  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306

This theorem is referenced by: (None)