Theorem fz1sbc 10031

Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fz1sbc	|- ( N e. ZZ -> ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> [. N / k ]. ph ) )

Distinct variable group:   k, N

Allowed substitution hint:   ph( k)

Proof of Theorem fz1sbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc6g 2975	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( [. N / k ]. ph <-> A. k ( k = N -> ph ) ) )
2		df-ral 2449	. . 3 |- ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> A. k ( k e. ( N ... N ) -> ph ) )
3		elfz1eq 9970	. . . . . 6 |- ( k e. ( N ... N ) -> k = N )
4		elfz3 9969	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. ( N ... N ) )
5		eleq1 2229	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( k e. ( N ... N ) <-> N e. ( N ... N ) ) )
6	4, 5	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( k = N -> k e. ( N ... N ) ) )
7	3, 6	impbid2 142	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( k e. ( N ... N ) <-> k = N ) )
8	7	imbi1d 230	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( k e. ( N ... N ) -> ph ) <-> ( k = N -> ph ) ) )
9	8	albidv 1812	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( A. k ( k e. ( N ... N ) -> ph ) <-> A. k ( k = N -> ph ) ) )
10	2, 9	bitr2id 192	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( A. k ( k = N -> ph ) <-> A. k e. ( N ... N ) ph ) )
11	1, 10	bitr2d 188	1 |- ( N e. ZZ -> ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> [. N / k ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   [.wsbc 2951  (class class class)co 5842   ZZcz 9191   ...cfz 9944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-apti 7868

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-neg 8072  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945

This theorem is referenced by: (None)