Theorem fz1sbc 10253

Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fz1sbc	|- ( N e. ZZ -> ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> [. N / k ]. ph ) )

Distinct variable group:   k, N

Allowed substitution hint:   ph( k)

Proof of Theorem fz1sbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc6g 3030	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( [. N / k ]. ph <-> A. k ( k = N -> ph ) ) )
2		df-ral 2491	. . 3 |- ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> A. k ( k e. ( N ... N ) -> ph ) )
3		elfz1eq 10192	. . . . . 6 |- ( k e. ( N ... N ) -> k = N )
4		elfz3 10191	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. ( N ... N ) )
5		eleq1 2270	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( k e. ( N ... N ) <-> N e. ( N ... N ) ) )
6	4, 5	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( k = N -> k e. ( N ... N ) ) )
7	3, 6	impbid2 143	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( k e. ( N ... N ) <-> k = N ) )
8	7	imbi1d 231	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( k e. ( N ... N ) -> ph ) <-> ( k = N -> ph ) ) )
9	8	albidv 1848	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( A. k ( k e. ( N ... N ) -> ph ) <-> A. k ( k = N -> ph ) ) )
10	2, 9	bitr2id 193	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( A. k ( k = N -> ph ) <-> A. k e. ( N ... N ) ph ) )
11	1, 10	bitr2d 189	1 |- ( N e. ZZ -> ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> [. N / k ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   [.wsbc 3005  (class class class)co 5967   ZZcz 9407   ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-apti 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-neg 8281  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by: (None)