Theorem fz1sbc 10330

Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fz1sbc	|- ( N e. ZZ -> ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> [. N / k ]. ph ) )

Distinct variable group:   k, N

Allowed substitution hint:   ph( k)

Proof of Theorem fz1sbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbc6g 3056	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( [. N / k ]. ph <-> A. k ( k = N -> ph ) ) )
2		df-ral 2515	. . 3 |- ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> A. k ( k e. ( N ... N ) -> ph ) )
3		elfz1eq 10269	. . . . . 6 |- ( k e. ( N ... N ) -> k = N )
4		elfz3 10268	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. ( N ... N ) )
5		eleq1 2294	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( k e. ( N ... N ) <-> N e. ( N ... N ) ) )
6	4, 5	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( k = N -> k e. ( N ... N ) ) )
7	3, 6	impbid2 143	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( k e. ( N ... N ) <-> k = N ) )
8	7	imbi1d 231	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( k e. ( N ... N ) -> ph ) <-> ( k = N -> ph ) ) )
9	8	albidv 1872	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( A. k ( k e. ( N ... N ) -> ph ) <-> A. k ( k = N -> ph ) ) )
10	2, 9	bitr2id 193	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( A. k ( k = N -> ph ) <-> A. k e. ( N ... N ) ph ) )
11	1, 10	bitr2d 189	1 |- ( N e. ZZ -> ( A. k e. ( N ... N ) ph <-> [. N / k ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1395   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   [.wsbc 3031  (class class class)co 6017   ZZcz 9478   ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-apti 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-neg 8352  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243

This theorem is referenced by: (None)