ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fz1sbc GIF version

Theorem fz1sbc 9477
Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fz1sbc (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑[𝑁 / 𝑘]𝜑))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem fz1sbc
StepHypRef Expression
1 sbc6g 2862 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ([𝑁 / 𝑘]𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑)))
2 df-ral 2364 . . 3 (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑))
3 elfz1eq 9418 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
4 elfz3 9417 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁))
5 eleq1 2150 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑁...𝑁)))
64, 5syl5ibrcom 155 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 = 𝑁𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)))
73, 6impbid2 141 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
87imbi1d 229 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ (𝑘 = 𝑁𝜑)))
98albidv 1752 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝜑) ↔ ∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑)))
102, 9syl5rbb 191 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘(𝑘 = 𝑁𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑))
111, 10bitr2d 187 1 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)𝜑[𝑁 / 𝑘]𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103  wal 1287   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  [wsbc 2838  (class class class)co 5634  cz 8720  ...cfz 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-apti 7439
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-neg 7635  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator