Theorem elfz1eq 9846

Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1eq	|- ( K e. ( N ... N ) -> K = N )

Proof of Theorem elfz1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 9839	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> K <_ N )
2		elfzle1 9838	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> N <_ K )
3		elfzelz 9837	. . 3 |- ( K e. ( N ... N ) -> K e. ZZ )
4		elfzel2 9835	. . 3 |- ( K e. ( N ... N ) -> N e. ZZ )
5		zre 9082	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
6		zre 9082	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
7		letri3 7869	. . . 4 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
8	5, 6, 7	syl2an 287	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
9	3, 4, 8	syl2anc 409	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
10	1, 2, 9	mpbir2and 929	1 |- ( K e. ( N ... N ) -> K = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-apti 7759

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by:  fzsn  9877  fz1sbc  9907  fzm1  9911  fz01or  9922  bccl  10545  sumsnf  11210  prmind2  11837  3prm  11845