Theorem elfz1eq 9984

Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1eq	|- ( K e. ( N ... N ) -> K = N )

Proof of Theorem elfz1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 9977	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> K <_ N )
2		elfzle1 9976	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> N <_ K )
3		elfzelz 9974	. . 3 |- ( K e. ( N ... N ) -> K e. ZZ )
4		elfzel2 9972	. . 3 |- ( K e. ( N ... N ) -> N e. ZZ )
5		zre 9209	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
6		zre 9209	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
7		letri3 7993	. . . 4 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
8	5, 6, 7	syl2an 287	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
9	3, 4, 8	syl2anc 409	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
10	1, 2, 9	mpbir2and 939	1 |- ( K e. ( N ... N ) -> K = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   RRcr 7766   <_ cle 7948   ZZcz 9205   ...cfz 9958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-apti 7882

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-neg 8086  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959

This theorem is referenced by:  fzsn  10015  fz1sbc  10045  fzm1  10049  fz01or  10060  bccl  10694  sumsnf  11365  prmind2  12067  3prm  12075  2sqlem10  13720