Theorem elfz1eq 9503

Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1eq	|- ( K e. ( N ... N ) -> K = N )

Proof of Theorem elfz1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 9496	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> K <_ N )
2		elfzle1 9495	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> N <_ K )
3		elfzelz 9494	. . 3 |- ( K e. ( N ... N ) -> K e. ZZ )
4		elfzel2 9492	. . 3 |- ( K e. ( N ... N ) -> N e. ZZ )
5		zre 8808	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
6		zre 8808	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
7		letri3 7620	. . . 4 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
8	5, 6, 7	syl2an 284	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
9	3, 4, 8	syl2anc 404	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
10	1, 2, 9	mpbir2and 891	1 |- ( K e. ( N ... N ) -> K = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   RRcr 7403   <_ cle 7577   ZZcz 8804   ...cfz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-apti 7514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-neg 7710  df-z 8805  df-uz 9074  df-fz 9479

This theorem is referenced by:  fzsn  9534  fz1sbc  9564  fzm1  9568  fz01or  9579  bccl  10229  sumsnf  10857  prmind2  11434  3prm  11442