Theorem elfz1eq 10104

Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1eq	|- ( K e. ( N ... N ) -> K = N )

Proof of Theorem elfz1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 10097	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> K <_ N )
2		elfzle1 10096	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> N <_ K )
3		elfzelz 10094	. . 3 |- ( K e. ( N ... N ) -> K e. ZZ )
4		elfzel2 10092	. . 3 |- ( K e. ( N ... N ) -> N e. ZZ )
5		zre 9324	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
6		zre 9324	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
7		letri3 8102	. . . 4 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
9	3, 4, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
10	1, 2, 9	mpbir2and 946	1 |- ( K e. ( N ... N ) -> K = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   RRcr 7873   <_ cle 8057   ZZcz 9320   ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-apti 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

This theorem is referenced by:  fzsn  10135  fz1sbc  10165  fzm1  10169  fz01or  10180  bccl  10841  sumsnf  11555  prmind2  12261  3prm  12269  ply1termlem  14921  2sqlem10  15282