Theorem elfz1eq 10231

Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz1eq	|- ( K e. ( N ... N ) -> K = N )

Proof of Theorem elfz1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle2 10224	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> K <_ N )
2		elfzle1 10223	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> N <_ K )
3		elfzelz 10221	. . 3 |- ( K e. ( N ... N ) -> K e. ZZ )
4		elfzel2 10219	. . 3 |- ( K e. ( N ... N ) -> N e. ZZ )
5		zre 9450	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
6		zre 9450	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
7		letri3 8227	. . . 4 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
9	3, 4, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( K e. ( N ... N ) -> ( K = N <-> ( K <_ N /\ N <_ K ) ) )
10	1, 2, 9	mpbir2and 950	1 |- ( K e. ( N ... N ) -> K = N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   <_ cle 8182   ZZcz 9446   ...cfz 10204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-apti 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-neg 8320  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205

This theorem is referenced by:  fzsn  10262  fz1sbc  10292  fzm1  10296  fz01or  10307  bccl  10989  swrdccatin1  11257  sumsnf  11920  prmind2  12642  3prm  12650  ply1termlem  15416  2sqlem10  15804