ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz1eq Unicode version

Theorem elfz1eq 9358
Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1eq  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  =  N )

Proof of Theorem elfz1eq
StepHypRef Expression
1 elfzle2 9351 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  <_  N )
2 elfzle1 9350 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  N  <_  K )
3 elfzelz 9349 . . 3  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  e.  ZZ )
4 elfzel2 9347 . . 3  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  N  e.  ZZ )
5 zre 8664 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
6 zre 8664 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
7 letri3 7487 . . . 4  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  =  N  <-> 
( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
85, 6, 7syl2an 283 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  =  N  <-> 
( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
93, 4, 8syl2anc 403 . 2  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  ( K  =  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  <_  K ) ) )
101, 2, 9mpbir2and 888 1  |-  ( K  e.  ( N ... N )  ->  K  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594   RRcr 7270    <_ cle 7444   ZZcz 8660   ...cfz 9333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-apti 7381
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-fv 4980  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-neg 7577  df-z 8661  df-uz 8929  df-fz 9334
This theorem is referenced by:  fzsn  9388  fz1sbc  9417  fzm1  9421  fz01or  9432  bccl  10024  prmind2  10896  3prm  10904
  Copyright terms: Public domain W3C validator