Theorem ghmfghm 13974

Description: The function fulfilling the conditions of ghmgrp 13766 is a group homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmabl.x	|- X = ( Base ` G )
ghmabl.y	|- Y = ( Base ` H )
ghmabl.p	|- .+ = ( +g ` G )
ghmabl.q	|- .+^ = ( +g ` H )
ghmabl.f	|- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
ghmabl.1	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
ghmfghm.3	|- ( ph -> G e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
ghmfghm	|- ( ph -> F e. ( G GrpHom H ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, F, y   x, G, y   x, H, y   x, X, y   x, Y, y   ph, x, y

Proof of Theorem ghmfghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmabl.x	. 2 |- X = ( Base ` G )
2		ghmabl.y	. 2 |- Y = ( Base ` H )
3		ghmabl.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
4		ghmabl.q	. 2 |- .+^ = ( +g ` H )
5		ghmfghm.3	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
6		ghmabl.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
7		ghmabl.1	. . 3 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
8	6, 1, 2, 3, 4, 7, 5	ghmgrp 13766	. 2 |- ( ph -> H e. Grp )
9		fof 5568	. . 3 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
10	7, 9	syl 14	. 2 |- ( ph -> F : X --> Y )
11	6	3expb 1231	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11	isghmd 13900	1 |- ( ph -> F e. ( G GrpHom H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   -->wf 5329   -onto->wfo 5331   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13143   +g cplusg 13221   Grpcgrp 13644   GrpHom cghm 13888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-inn 9187  df-2 9245  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-minusg 13648  df-ghm 13889

This theorem is referenced by: (None)