Theorem ghmfghm 13918

Description: The function fulfilling the conditions of ghmgrp 13710 is a group homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmabl.x	|- X = ( Base ` G )
ghmabl.y	|- Y = ( Base ` H )
ghmabl.p	|- .+ = ( +g ` G )
ghmabl.q	|- .+^ = ( +g ` H )
ghmabl.f	|- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
ghmabl.1	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
ghmfghm.3	|- ( ph -> G e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
ghmfghm	|- ( ph -> F e. ( G GrpHom H ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, F, y   x, G, y   x, H, y   x, X, y   x, Y, y   ph, x, y

Proof of Theorem ghmfghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmabl.x	. 2 |- X = ( Base ` G )
2		ghmabl.y	. 2 |- Y = ( Base ` H )
3		ghmabl.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
4		ghmabl.q	. 2 |- .+^ = ( +g ` H )
5		ghmfghm.3	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
6		ghmabl.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
7		ghmabl.1	. . 3 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
8	6, 1, 2, 3, 4, 7, 5	ghmgrp 13710	. 2 |- ( ph -> H e. Grp )
9		fof 5559	. . 3 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
10	7, 9	syl 14	. 2 |- ( ph -> F : X --> Y )
11	6	3expb 1230	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11	isghmd 13844	1 |- ( ph -> F e. ( G GrpHom H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   -->wf 5322   -onto->wfo 5324   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13087   +g cplusg 13165   Grpcgrp 13588   GrpHom cghm 13832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-plusg 13178  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-ghm 13833

This theorem is referenced by: (None)