Theorem ghmfghm 13532

Description: The function fulfilling the conditions of ghmgrp 13324 is a group homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmabl.x	|- X = ( Base ` G )
ghmabl.y	|- Y = ( Base ` H )
ghmabl.p	|- .+ = ( +g ` G )
ghmabl.q	|- .+^ = ( +g ` H )
ghmabl.f	|- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
ghmabl.1	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
ghmfghm.3	|- ( ph -> G e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
ghmfghm	|- ( ph -> F e. ( G GrpHom H ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, F, y   x, G, y   x, H, y   x, X, y   x, Y, y   ph, x, y

Proof of Theorem ghmfghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmabl.x	. 2 |- X = ( Base ` G )
2		ghmabl.y	. 2 |- Y = ( Base ` H )
3		ghmabl.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
4		ghmabl.q	. 2 |- .+^ = ( +g ` H )
5		ghmfghm.3	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
6		ghmabl.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
7		ghmabl.1	. . 3 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
8	6, 1, 2, 3, 4, 7, 5	ghmgrp 13324	. 2 |- ( ph -> H e. Grp )
9		fof 5483	. . 3 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
10	7, 9	syl 14	. 2 |- ( ph -> F : X --> Y )
11	6	3expb 1206	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11	isghmd 13458	1 |- ( ph -> F e. ( G GrpHom H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   -->wf 5255   -onto->wfo 5257   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   Grpcgrp 13202   GrpHom cghm 13446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-ghm 13447

This theorem is referenced by: (None)