Theorem ghmfghm 14113

Description: The function fulfilling the conditions of ghmgrp 13904 is a group homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmabl.x	|- X = ( Base ` G )
ghmabl.y	|- Y = ( Base ` H )
ghmabl.p	|- .+ = ( +g ` G )
ghmabl.q	|- .+^ = ( +g ` H )
ghmabl.f	|- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
ghmabl.1	|- ( ph -> F : X -onto-> Y )
ghmfghm.3	|- ( ph -> G e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
ghmfghm	|- ( ph -> F e. ( G GrpHom H ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, F, y   x, G, y   x, H, y   x, X, y   x, Y, y   ph, x, y

Proof of Theorem ghmfghm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmabl.x	. 2 |- X = ( Base ` G )
2		ghmabl.y	. 2 |- Y = ( Base ` H )
3		ghmabl.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
4		ghmabl.q	. 2 |- .+^ = ( +g ` H )
5		ghmfghm.3	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
6		ghmabl.f	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
7		ghmabl.1	. . 3 |- ( ph -> F : X -onto-> Y )
8	6, 1, 2, 3, 4, 7, 5	ghmgrp 13904	. 2 |- ( ph -> H e. Grp )
9		fof 5613	. . 3 |- ( F : X -onto-> Y -> F : X --> Y )
10	7, 9	syl 14	. 2 |- ( ph -> F : X --> Y )
11	6	3expb 1235	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11	isghmd 14038	1 |- ( ph -> F e. ( G GrpHom H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   -->wf 5371   -onto->wfo 5373   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Basecbs 13335   +g cplusg 13414   Grpcgrp 13788   GrpHom cghm 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-inn 9288  df-2 9346  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-ghm 14027

This theorem is referenced by: (None)