Theorem isghmd 13829

Description: Deduction for a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghmd.x	|- X = ( Base ` S )
isghmd.y	|- Y = ( Base ` T )
isghmd.a	|- .+ = ( +g ` S )
isghmd.b	|- .+^ = ( +g ` T )
isghmd.s	|- ( ph -> S e. Grp )
isghmd.t	|- ( ph -> T e. Grp )
isghmd.f	|- ( ph -> F : X --> Y )
isghmd.l	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isghmd	|- ( ph -> F e. ( S GrpHom T ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, X, y   x, Y, y

Proof of Theorem isghmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isghmd.s	. 2 |- ( ph -> S e. Grp )
2		isghmd.t	. 2 |- ( ph -> T e. Grp )
3		isghmd.f	. . 3 |- ( ph -> F : X --> Y )
4		isghmd.l	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
5	4	ralrimivva 2612	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
6	3, 5	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
7		isghmd.x	. . 3 |- X = ( Base ` S )
8		isghmd.y	. . 3 |- Y = ( Base ` T )
9		isghmd.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` S )
10		isghmd.b	. . 3 |- .+^ = ( +g ` T )
11	7, 8, 9, 10	isghm 13820	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) ) )
12	1, 2, 6, 11	syl21anbrc 1206	1 |- ( ph -> F e. ( S GrpHom T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   +g cplusg 13150   Grpcgrp 13573   GrpHom cghm 13817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-inn 9134  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-ghm 13818

This theorem is referenced by:  ghmmhmb  13831  resghm  13837  conjghm  13853  qusghm  13859  ghmfghm  13903  invghm  13906  ringlghm  14064  ringrghm  14065  isrhmd  14170