Theorem isghmd 13322

Description: Deduction for a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghmd.x	|- X = ( Base ` S )
isghmd.y	|- Y = ( Base ` T )
isghmd.a	|- .+ = ( +g ` S )
isghmd.b	|- .+^ = ( +g ` T )
isghmd.s	|- ( ph -> S e. Grp )
isghmd.t	|- ( ph -> T e. Grp )
isghmd.f	|- ( ph -> F : X --> Y )
isghmd.l	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isghmd	|- ( ph -> F e. ( S GrpHom T ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, X, y   x, Y, y

Proof of Theorem isghmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isghmd.s	. 2 |- ( ph -> S e. Grp )
2		isghmd.t	. 2 |- ( ph -> T e. Grp )
3		isghmd.f	. . 3 |- ( ph -> F : X --> Y )
4		isghmd.l	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
5	4	ralrimivva 2576	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
6	3, 5	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
7		isghmd.x	. . 3 |- X = ( Base ` S )
8		isghmd.y	. . 3 |- Y = ( Base ` T )
9		isghmd.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` S )
10		isghmd.b	. . 3 |- .+^ = ( +g ` T )
11	7, 8, 9, 10	isghm 13313	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) ) )
12	1, 2, 6, 11	syl21anbrc 1184	1 |- ( ph -> F e. ( S GrpHom T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   Grpcgrp 13072   GrpHom cghm 13310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-ghm 13311

This theorem is referenced by:  ghmmhmb  13324  resghm  13330  conjghm  13346  qusghm  13352  ghmfghm  13396  invghm  13399  ringlghm  13557  ringrghm  13558  isrhmd  13662