Theorem isghmd 13530

Description: Deduction for a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghmd.x	|- X = ( Base ` S )
isghmd.y	|- Y = ( Base ` T )
isghmd.a	|- .+ = ( +g ` S )
isghmd.b	|- .+^ = ( +g ` T )
isghmd.s	|- ( ph -> S e. Grp )
isghmd.t	|- ( ph -> T e. Grp )
isghmd.f	|- ( ph -> F : X --> Y )
isghmd.l	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isghmd	|- ( ph -> F e. ( S GrpHom T ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, X, y   x, Y, y

Proof of Theorem isghmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isghmd.s	. 2 |- ( ph -> S e. Grp )
2		isghmd.t	. 2 |- ( ph -> T e. Grp )
3		isghmd.f	. . 3 |- ( ph -> F : X --> Y )
4		isghmd.l	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
5	4	ralrimivva 2587	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
6	3, 5	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
7		isghmd.x	. . 3 |- X = ( Base ` S )
8		isghmd.y	. . 3 |- Y = ( Base ` T )
9		isghmd.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` S )
10		isghmd.b	. . 3 |- .+^ = ( +g ` T )
11	7, 8, 9, 10	isghm 13521	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) ) )
12	1, 2, 6, 11	syl21anbrc 1184	1 |- ( ph -> F e. ( S GrpHom T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   -->wf 5266   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12774   +g cplusg 12851   Grpcgrp 13274   GrpHom cghm 13518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-inn 9036  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-ghm 13519

This theorem is referenced by:  ghmmhmb  13532  resghm  13538  conjghm  13554  qusghm  13560  ghmfghm  13604  invghm  13607  ringlghm  13765  ringrghm  13766  isrhmd  13870