Theorem isghmd 13382

Description: Deduction for a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghmd.x	|- X = ( Base ` S )
isghmd.y	|- Y = ( Base ` T )
isghmd.a	|- .+ = ( +g ` S )
isghmd.b	|- .+^ = ( +g ` T )
isghmd.s	|- ( ph -> S e. Grp )
isghmd.t	|- ( ph -> T e. Grp )
isghmd.f	|- ( ph -> F : X --> Y )
isghmd.l	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isghmd	|- ( ph -> F e. ( S GrpHom T ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, X, y   x, Y, y

Proof of Theorem isghmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isghmd.s	. 2 |- ( ph -> S e. Grp )
2		isghmd.t	. 2 |- ( ph -> T e. Grp )
3		isghmd.f	. . 3 |- ( ph -> F : X --> Y )
4		isghmd.l	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
5	4	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
6	3, 5	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
7		isghmd.x	. . 3 |- X = ( Base ` S )
8		isghmd.y	. . 3 |- Y = ( Base ` T )
9		isghmd.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` S )
10		isghmd.b	. . 3 |- .+^ = ( +g ` T )
11	7, 8, 9, 10	isghm 13373	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) ) )
12	1, 2, 6, 11	syl21anbrc 1184	1 |- ( ph -> F e. ( S GrpHom T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   Grpcgrp 13132   GrpHom cghm 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-ghm 13371

This theorem is referenced by:  ghmmhmb  13384  resghm  13390  conjghm  13406  qusghm  13412  ghmfghm  13456  invghm  13459  ringlghm  13617  ringrghm  13618  isrhmd  13722