Theorem isghmd 13919

Description: Deduction for a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghmd.x	|- X = ( Base ` S )
isghmd.y	|- Y = ( Base ` T )
isghmd.a	|- .+ = ( +g ` S )
isghmd.b	|- .+^ = ( +g ` T )
isghmd.s	|- ( ph -> S e. Grp )
isghmd.t	|- ( ph -> T e. Grp )
isghmd.f	|- ( ph -> F : X --> Y )
isghmd.l	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isghmd	|- ( ph -> F e. ( S GrpHom T ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, X, y   x, Y, y

Proof of Theorem isghmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isghmd.s	. 2 |- ( ph -> S e. Grp )
2		isghmd.t	. 2 |- ( ph -> T e. Grp )
3		isghmd.f	. . 3 |- ( ph -> F : X --> Y )
4		isghmd.l	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
5	4	ralrimivva 2615	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
6	3, 5	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
7		isghmd.x	. . 3 |- X = ( Base ` S )
8		isghmd.y	. . 3 |- Y = ( Base ` T )
9		isghmd.a	. . 3 |- .+ = ( +g ` S )
10		isghmd.b	. . 3 |- .+^ = ( +g ` T )
11	7, 8, 9, 10	isghm 13910	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) ) )
12	1, 2, 6, 11	syl21anbrc 1209	1 |- ( ph -> F e. ( S GrpHom T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   Grpcgrp 13663   GrpHom cghm 13907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-inn 9203  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-ghm 13908

This theorem is referenced by:  ghmmhmb  13921  resghm  13927  conjghm  13943  qusghm  13949  ghmfghm  13993  invghm  13996  ringlghm  14155  ringrghm  14156  isrhmd  14261