Theorem grppnpcan2 13676

Description: Cancellation law for mixed addition and subtraction. (pnpcan2 8418 analog.) (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grppnpcan2	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) .- ( Y .+ Z ) ) = ( X .- Y ) )

Proof of Theorem grppnpcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
2		grpsubadd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3		grpsubadd.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	grpcl 13590	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .+ Z ) e. B )
5	4	3adant3r2 1239	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ Z ) e. B )
6		simpr3 1031	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
7		simpr2 1030	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
8		grpsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
9	2, 3, 8	grpsubsub4 13675	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( X .+ Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Z ) .- Z ) .- Y ) = ( ( X .+ Z ) .- ( Y .+ Z ) ) )
10	1, 5, 6, 7, 9	syl13anc 1275	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Z ) .- Z ) .- Y ) = ( ( X .+ Z ) .- ( Y .+ Z ) ) )
11	2, 3, 8	grppncan 13673	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .+ Z ) .- Z ) = X )
12	11	3adant3r2 1239	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) .- Z ) = X )
13	12	oveq1d 6032	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Z ) .- Z ) .- Y ) = ( X .- Y ) )
14	10, 13	eqtr3d 2266	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) .- ( Y .+ Z ) ) = ( X .- Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   Grpcgrp 13582   -gcsg 13584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-sbg 13587

This theorem is referenced by: (None)