Theorem grppncan 13365

Description: Cancellation law for subtraction (pncan 8277 analog). (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grppncan	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- Y ) = X )

Proof of Theorem grppncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
2		simp2 1000	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
3		simp3 1001	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
4		grpsubadd.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
5		grpsubadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
6		grpsubadd.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` G )
7	4, 5, 6	grpaddsubass 13364	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .- Y ) = ( X .+ ( Y .- Y ) ) )
8	1, 2, 3, 3, 7	syl13anc 1251	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- Y ) = ( X .+ ( Y .- Y ) ) )
9		eqid 2204	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
10	4, 9, 6	grpsubid 13358	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .- Y ) = ( 0g ` G ) )
11	10	oveq2d 5959	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( Y .- Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
12	11	3adant2 1018	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( Y .- Y ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
13	4, 5, 9	grprid 13306	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
14	13	3adant3 1019	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
15	8, 12, 14	3eqtrd 2241	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .- Y ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Basecbs 12774   +g cplusg 12851   0gc0g 13030   Grpcgrp 13274   -gcsg 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-inn 9036  df-2 9094  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-plusg 12864  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277  df-minusg 13278  df-sbg 13279

This theorem is referenced by:  grpnpcan  13366  grppnpcan2  13368  ssnmz  13489  conjnmz  13557  lmodvpncan  14044