Theorem grpsubsub4 13295

Description: Double group subtraction (subsub4 8276 analog). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubsub4	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Z .+ Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
2		grpsubadd.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
3		grpsubadd.m	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` G )
4	2, 3	grpsubcl 13282	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
5	4	3adant3r3 1216	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Y ) e. B )
6		simpr3 1007	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
7		grpsubadd.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
8	2, 7, 3	grpnpcan 13294	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .- Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) = ( X .- Y ) )
9	1, 5, 6, 8	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) = ( X .- Y ) )
10	9	oveq1d 5940	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( X .- Y ) .+ Y ) )
11	2, 3	grpsubcl 13282	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .- Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B )
12	1, 5, 6, 11	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B )
13		simpr2 1006	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
14	2, 7	grpass 13211	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
15	1, 12, 6, 13, 14	syl13anc 1251	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
16	2, 7, 3	grpnpcan 13294	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )
17	16	3adant3r3 1216	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )
18	10, 15, 17	3eqtr3d 2237	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = X )
19		simpr1 1005	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
20	2, 7	grpcl 13210	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ Y e. B ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
21	1, 6, 13, 20	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
22	2, 7, 3	grpsubadd 13290	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( Z .+ Y ) e. B /\ ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B ) ) -> ( ( X .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Y ) .- Z ) <-> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = X ) )
23	1, 19, 21, 12, 22	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Y ) .- Z ) <-> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = X ) )
24	18, 23	mpbird 167	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Y ) .- Z ) )
25	24	eqcomd 2202	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Z .+ Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   Grpcgrp 13202   -gcsg 13204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207

This theorem is referenced by:  grppnpcan2  13296  grpnnncan2  13299