Theorem grpsubsub4 13848

Description: Double group subtraction (subsub4 8522 analog). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubsub4	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Z .+ Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
2		grpsubadd.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
3		grpsubadd.m	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` G )
4	2, 3	grpsubcl 13835	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
5	4	3adant3r3 1241	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Y ) e. B )
6		simpr3 1032	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
7		grpsubadd.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
8	2, 7, 3	grpnpcan 13847	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .- Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) = ( X .- Y ) )
9	1, 5, 6, 8	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) = ( X .- Y ) )
10	9	oveq1d 6073	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( X .- Y ) .+ Y ) )
11	2, 3	grpsubcl 13835	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .- Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B )
12	1, 5, 6, 11	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B )
13		simpr2 1031	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
14	2, 7	grpass 13764	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
15	1, 12, 6, 13, 14	syl13anc 1276	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
16	2, 7, 3	grpnpcan 13847	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )
17	16	3adant3r3 1241	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )
18	10, 15, 17	3eqtr3d 2275	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = X )
19		simpr1 1030	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
20	2, 7	grpcl 13763	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ Y e. B ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
21	1, 6, 13, 20	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
22	2, 7, 3	grpsubadd 13843	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( Z .+ Y ) e. B /\ ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B ) ) -> ( ( X .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Y ) .- Z ) <-> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = X ) )
23	1, 19, 21, 12, 22	syl13anc 1276	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Y ) .- Z ) <-> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = X ) )
24	18, 23	mpbird 167	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Y ) .- Z ) )
25	24	eqcomd 2240	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Z .+ Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   Grpcgrp 13755   -gcsg 13757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-sbg 13760

This theorem is referenced by:  grppnpcan2  13849  grpnnncan2  13852