Theorem grpsubsub4 13957

Description: Double group subtraction (subsub4 8566 analog). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubsub4	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Z .+ Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
2		grpsubadd.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
3		grpsubadd.m	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` G )
4	2, 3	grpsubcl 13944	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
5	4	3adant3r3 1245	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Y ) e. B )
6		simpr3 1036	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
7		grpsubadd.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
8	2, 7, 3	grpnpcan 13956	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .- Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) = ( X .- Y ) )
9	1, 5, 6, 8	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) = ( X .- Y ) )
10	9	oveq1d 6103	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( X .- Y ) .+ Y ) )
11	2, 3	grpsubcl 13944	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .- Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B )
12	1, 5, 6, 11	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B )
13		simpr2 1035	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
14	2, 7	grpass 13873	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
15	1, 12, 6, 13, 14	syl13anc 1280	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
16	2, 7, 3	grpnpcan 13956	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )
17	16	3adant3r3 1245	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )
18	10, 15, 17	3eqtr3d 2279	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = X )
19		simpr1 1034	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
20	2, 7	grpcl 13872	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ Y e. B ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
21	1, 6, 13, 20	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
22	2, 7, 3	grpsubadd 13952	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( Z .+ Y ) e. B /\ ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B ) ) -> ( ( X .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Y ) .- Z ) <-> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = X ) )
23	1, 19, 21, 12, 22	syl13anc 1280	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Y ) .- Z ) <-> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = X ) )
24	18, 23	mpbird 167	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Y ) .- Z ) )
25	24	eqcomd 2244	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Z .+ Y ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   Grpcgrp 13864   -gcsg 13866

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-sbg 13869

This theorem is used by:  grppnpcan2  13958  grpnnncan2  13961