Theorem grpsubsub4 12819

Description: Double group subtraction (subsub4 8161 analog). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	|- B = ( Base ` G )
grpsubadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grpsubadd.m	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpsubsub4	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Z .+ Y ) ) )

Proof of Theorem grpsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Grp )
2		grpsubadd.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
3		grpsubadd.m	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` G )
4	2, 3	grpsubcl 12806	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) e. B )
5	4	3adant3r3 1212	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- Y ) e. B )
6		simpr3 1003	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
7		grpsubadd.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` G )
8	2, 7, 3	grpnpcan 12818	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .- Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) = ( X .- Y ) )
9	1, 5, 6, 8	syl3anc 1236	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) = ( X .- Y ) )
10	9	oveq1d 5877	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( X .- Y ) .+ Y ) )
11	2, 3	grpsubcl 12806	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( X .- Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B )
12	1, 5, 6, 11	syl3anc 1236	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B )
13		simpr2 1002	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
14	2, 7	grpass 12744	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
15	1, 12, 6, 13, 14	syl13anc 1238	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
16	2, 7, 3	grpnpcan 12818	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )
17	16	3adant3r3 1212	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .+ Y ) = X )
18	10, 15, 17	3eqtr3d 2214	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = X )
19		simpr1 1001	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
20	2, 7	grpcl 12743	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B /\ Y e. B ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
21	1, 6, 13, 20	syl3anc 1236	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .+ Y ) e. B )
22	2, 7, 3	grpsubadd 12814	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ ( Z .+ Y ) e. B /\ ( ( X .- Y ) .- Z ) e. B ) ) -> ( ( X .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Y ) .- Z ) <-> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = X ) )
23	1, 19, 21, 12, 22	syl13anc 1238	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Y ) .- Z ) <-> ( ( ( X .- Y ) .- Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = X ) )
24	18, 23	mpbird 168	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .- ( Z .+ Y ) ) = ( ( X .- Y ) .- Z ) )
25	24	eqcomd 2179	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .- Y ) .- Z ) = ( X .- ( Z .+ Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 976   = wceq 1351   e. wcel 2144   ` cfv 5205  (class class class)co 5862   Basecbs 12425   +g cplusg 12489   Grpcgrp 12735   -gcsg 12737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 612  ax-in2 613  ax-io 707  ax-5 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-ie1 1489  ax-ie2 1490  ax-8 1500  ax-10 1501  ax-11 1502  ax-i12 1503  ax-bndl 1505  ax-4 1506  ax-17 1522  ax-i9 1526  ax-ial 1530  ax-i5r 1531  ax-13 2146  ax-14 2147  ax-ext 2155  ax-coll 4110  ax-sep 4113  ax-pow 4166  ax-pr 4200  ax-un 4424  ax-setind 4527  ax-cnex 7874  ax-resscn 7875  ax-1re 7877  ax-addrcl 7880

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 978  df-tru 1354  df-fal 1357  df-nf 1457  df-sb 1759  df-eu 2025  df-mo 2026  df-clab 2160  df-cleq 2166  df-clel 2169  df-nfc 2304  df-ne 2344  df-ral 2456  df-rex 2457  df-reu 2458  df-rmo 2459  df-rab 2460  df-v 2735  df-sbc 2959  df-csb 3053  df-dif 3126  df-un 3128  df-in 3130  df-ss 3137  df-pw 3571  df-sn 3592  df-pr 3593  df-op 3595  df-uni 3803  df-int 3838  df-iun 3881  df-br 3996  df-opab 4057  df-mpt 4058  df-id 4284  df-xp 4623  df-rel 4624  df-cnv 4625  df-co 4626  df-dm 4627  df-rn 4628  df-res 4629  df-ima 4630  df-iota 5167  df-fun 5207  df-fn 5208  df-f 5209  df-f1 5210  df-fo 5211  df-f1o 5212  df-fv 5213  df-riota 5818  df-ov 5865  df-oprab 5866  df-mpo 5867  df-1st 6128  df-2nd 6129  df-inn 8888  df-2 8946  df-ndx 12428  df-slot 12429  df-base 12431  df-plusg 12502  df-0g 12625  df-mgm 12637  df-sgrp 12670  df-mnd 12680  df-grp 12738  df-minusg 12739  df-sbg 12740

This theorem is referenced by:  grppnpcan2  12820  grpnnncan2  12823