Theorem hmeof1o 14477

Description: A homeomorphism is a 1-1-onto mapping. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
hmeof1o.1	|- X = U. J
hmeof1o.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
hmeof1o	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y )

Proof of Theorem hmeof1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 14473	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		cntop1 14369	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
3		hmeof1o.1	. . . . . 6 |- X = U. J
4	3	toptopon 14186	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
5	2, 4	sylib 122	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6		cntop2 14370	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
7		hmeof1o.2	. . . . . 6 |- Y = U. K
8	7	toptopon 14186	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
9	6, 8	sylib 122	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
10	5, 9	jca 306	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) )
12		hmeof1o2 14476	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
13	12	3expia 1207	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y ) )
14	11, 13	mpcom 36	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   U.cuni 3835   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Topctop 14165  TopOnctopon 14178   Cn ccn 14353   Homeochmeo 14468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-top 14166  df-topon 14179  df-cn 14356  df-hmeo 14469

This theorem is referenced by:  hmeoopn  14479  hmeocld  14480  hmeontr  14481  hmeoimaf1o  14482  txhmeo  14487