Theorem hmeof1o 15300

Description: A homeomorphism is a 1-1-onto mapping. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
hmeof1o.1	|- X = U. J
hmeof1o.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
hmeof1o	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y )

Proof of Theorem hmeof1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 15296	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		cntop1 15192	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
3		hmeof1o.1	. . . . . 6 |- X = U. J
4	3	toptopon 15009	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
5	2, 4	sylib 122	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6		cntop2 15193	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
7		hmeof1o.2	. . . . . 6 |- Y = U. K
8	7	toptopon 15009	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
9	6, 8	sylib 122	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
10	5, 9	jca 306	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) )
12		hmeof1o2 15299	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
13	12	3expia 1232	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y ) )
14	11, 13	mpcom 36	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   U.cuni 3919   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Topctop 14988  TopOnctopon 15001   Cn ccn 15176   Homeochmeo 15291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-top 14989  df-topon 15002  df-cn 15179  df-hmeo 15292

This theorem is referenced by:  hmeoopn  15302  hmeocld  15303  hmeontr  15304  hmeoimaf1o  15305  txhmeo  15310