Theorem hmeof1o 14896

Description: A homeomorphism is a 1-1-onto mapping. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
hmeof1o.1	|- X = U. J
hmeof1o.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
hmeof1o	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y )

Proof of Theorem hmeof1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 14892	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		cntop1 14788	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
3		hmeof1o.1	. . . . . 6 |- X = U. J
4	3	toptopon 14605	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
5	2, 4	sylib 122	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6		cntop2 14789	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
7		hmeof1o.2	. . . . . 6 |- Y = U. K
8	7	toptopon 14605	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
9	6, 8	sylib 122	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
10	5, 9	jca 306	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) )
12		hmeof1o2 14895	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
13	12	3expia 1208	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y ) )
14	11, 13	mpcom 36	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   U.cuni 3864   -1-1-onto->wf1o 5289   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Topctop 14584  TopOnctopon 14597   Cn ccn 14772   Homeochmeo 14887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-top 14585  df-topon 14598  df-cn 14775  df-hmeo 14888

This theorem is referenced by:  hmeoopn  14898  hmeocld  14899  hmeontr  14900  hmeoimaf1o  14901  txhmeo  14906