Theorem hmeof1o 13103

Description: A homeomorphism is a 1-1-onto mapping. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
hmeof1o.1	|- X = U. J
hmeof1o.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
hmeof1o	|- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y )

Proof of Theorem hmeof1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 13099	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F e. ( J Cn K ) )
2		cntop1 12995	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
3		hmeof1o.1	. . . . . 6 |- X = U. J
4	3	toptopon 12810	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
5	2, 4	sylib 121	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6		cntop2 12996	. . . . 5 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
7		hmeof1o.2	. . . . . 6 |- Y = U. K
8	7	toptopon 12810	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
9	6, 8	sylib 121	. . . 4 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
10	5, 9	jca 304	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) )
12		hmeof1o2 13102	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Homeo K ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
13	12	3expia 1200	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y ) )
14	11, 13	mpcom 36	1 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   U.cuni 3796   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   Cn ccn 12979   Homeochmeo 13094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-top 12790  df-topon 12803  df-cn 12982  df-hmeo 13095

This theorem is referenced by:  hmeoopn  13105  hmeocld  13106  hmeontr  13107  hmeoimaf1o  13108  txhmeo  13113