Theorem cnf2 15306

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 15298	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) ) )
2	1	simprbda 383	. 2 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )
3	2	3impa 1225	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> Y )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   A.wral 2528   `'ccnv 4773   "cima 4777   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085  TopOnctopon 15111   Cn ccn 15286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-top 15099  df-topon 15112  df-cn 15289

This theorem is used by:  cnntr  15326  cnrest2  15337  cnrest2r  15338  txdis1cn  15379  lmcn2  15381  cnmpt11  15384  cnmpt1t  15386  cnmpt12  15388  cnmpt21  15392  cnmpt2t  15394  cnmpt22  15395  cnmpt22f  15396  cnmptcom  15399  hmeof1o2  15409  fsumcncntop  15668