Theorem ige2m1fz1 10004

Description: Membership of an integer greater than 1 decreased by 1 in a 1 based finite set of sequential integers (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ige2m1fz1	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem ige2m1fz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1e2m1 8946	. . . 4 |- 1 = ( 2 - 1 )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 = ( 2 - 1 ) )
3	2	oveq2d 5837	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) = ( N - ( 2 - 1 ) ) )
4		2nn 8988	. . 3 |- 2 e. NN
5		uzsubsubfz1 9943	. . 3 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N - ( 2 - 1 ) ) e. ( 1 ... N ) )
6	4, 5	mpan 421	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - ( 2 - 1 ) ) e. ( 1 ... N ) )
7	3, 6	eqeltrd 2234	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   1c1 7727   - cmin 8040   NNcn 8827   2c2 8878   ZZ>=cuz 9433   ...cfz 9905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-2 8886  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-fz 9906

This theorem is referenced by:  ige2m1fz  10005