ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ige2m1fz Unicode version

Theorem ige2m1fz 9917
Description: Membership in a 0 based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Jun-2018.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ige2m1fz  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem ige2m1fz
StepHypRef Expression
1 1eluzge0 9392 . . 3  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
2 fzss1 9870 . . 3  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
4 2z 9102 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
54a1i 9 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
2  e.  ZZ )
6 nn0z 9094 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
76adantr 274 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
8 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
2  <_  N )
9 eluz2 9352 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
105, 7, 8, 9syl3anbrc 1166 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
11 ige2m1fz1 9916 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 1 ... N
) )
1210, 11syl 14 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
133, 12sseldi 3096 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  2  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1481    C_ wss 3072   class class class wbr 3933   ` cfv 5127  (class class class)co 5778   0cc0 7640   1c1 7641    <_ cle 7821    - cmin 7953   2c2 8791   NN0cn0 8997   ZZcz 9074   ZZ>=cuz 9346   ...cfz 9817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-addass 7742  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-ltadd 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-inn 8741  df-2 8799  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347  df-fz 9818
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator