Theorem ige2m1fz 10204

Description: Membership in a 0 based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Jun-2018.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ige2m1fz	|- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem ige2m1fz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1eluzge0 9667	. . 3 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
2		fzss1 10157	. . 3 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
4		2z 9373	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> 2 e. ZZ )
6		nn0z 9365	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> N e. ZZ )
8		simpr 110	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> 2 <_ N )
9		eluz2 9626	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
10	5, 7, 8, 9	syl3anbrc 1183	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11		ige2m1fz1 10203	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. ( 1 ... N ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. ( 1 ... N ) )
13	3, 12	sselid 3182	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   0cc0 7898   1c1 7899   <_ cle 8081   - cmin 8216   2c2 9060   NN0cn0 9268   ZZcz 9345   ZZ>=cuz 9620   ...cfz 10102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-2 9068  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103

This theorem is referenced by: (None)