Theorem ige2m1fz 10267

Description: Membership in a 0 based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Jun-2018.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ige2m1fz	|- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem ige2m1fz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1eluzge0 9730	. . 3 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
2		fzss1 10220	. . 3 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
4		2z 9435	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> 2 e. ZZ )
6		nn0z 9427	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> N e. ZZ )
8		simpr 110	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> 2 <_ N )
9		eluz2 9689	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
10	5, 7, 8, 9	syl3anbrc 1184	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11		ige2m1fz1 10266	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. ( 1 ... N ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. ( 1 ... N ) )
13	3, 12	sselid 3199	1 |- ( ( N e. NN0 /\ 2 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   0cc0 7960   1c1 7961   <_ cle 8143   - cmin 8278   2c2 9122   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by: (None)