Theorem fzshftral 10010

Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzshftral	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Distinct variable groups:   j, k, K   j, M, k   j, N, k   ph, k

Allowed substitution hint:   ph( j)

Proof of Theorem fzshftral

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9178	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		fzrevral 10007	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
3	1, 2	mp3an3 1308	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
4	3	3adant3 1002	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
5		zsubcl 9208	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 - N ) e. ZZ )
6	1, 5	mpan 421	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0 - N ) e. ZZ )
7		zsubcl 9208	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 - M ) e. ZZ )
8	1, 7	mpan 421	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( 0 - M ) e. ZZ )
9		id 19	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. ZZ )
10		fzrevral 10007	. . . 4 |- ( ( ( 0 - N ) e. ZZ /\ ( 0 - M ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
11	6, 8, 9, 10	syl3an 1262	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
12	11	3com12 1189	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
13		elfzelz 9928	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) -> k e. ZZ )
14		zsubcl 9208	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( K - k ) e. ZZ )
15		oveq2 5832	. . . . . . . 8 |- ( x = ( K - k ) -> ( 0 - x ) = ( 0 - ( K - k ) ) )
16	15	sbcco3g 3088	. . . . . . 7 |- ( ( K - k ) e. ZZ -> ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
17	14, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
18	13, 17	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) ) -> ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
19	18	ralbidva 2453	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
20	19	3ad2ant3 1005	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
21		zcn 9172	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
22		zcn 9172	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
23		zcn 9172	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
24		df-neg 8049	. . . . . . . . . 10 |- -u M = ( 0 - M )
25	24	oveq2i 5835	. . . . . . . . 9 |- ( K - -u M ) = ( K - ( 0 - M ) )
26		subneg 8124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - -u M ) = ( K + M ) )
27		addcom 8012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K + M ) = ( M + K ) )
28	26, 27	eqtrd 2190	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - -u M ) = ( M + K ) )
29	25, 28	eqtr3id 2204	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - ( 0 - M ) ) = ( M + K ) )
30	29	3adant3 1002	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - M ) ) = ( M + K ) )
31		df-neg 8049	. . . . . . . . . 10 |- -u N = ( 0 - N )
32	31	oveq2i 5835	. . . . . . . . 9 |- ( K - -u N ) = ( K - ( 0 - N ) )
33		subneg 8124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - -u N ) = ( K + N ) )
34		addcom 8012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K + N ) = ( N + K ) )
35	33, 34	eqtrd 2190	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - -u N ) = ( N + K ) )
36	32, 35	eqtr3id 2204	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - N ) ) = ( N + K ) )
37	36	3adant2 1001	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - N ) ) = ( N + K ) )
38	30, 37	oveq12d 5842	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
39	38	3coml 1192	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
40	21, 22, 23, 39	syl3an 1262	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
41	40	raleqdv 2658	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
42		elfzelz 9928	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> k e. ZZ )
43	42	zcnd 9287	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> k e. CC )
44		df-neg 8049	. . . . . . . 8 |- -u ( K - k ) = ( 0 - ( K - k ) )
45		negsubdi2 8134	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> -u ( K - k ) = ( k - K ) )
46	44, 45	eqtr3id 2204	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( 0 - ( K - k ) ) = ( k - K ) )
47	23, 43, 46	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( 0 - ( K - k ) ) = ( k - K ) )
48	47	sbceq1d 2942	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
49	48	ralbidva 2453	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
50	49	3ad2ant3 1005	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
51	20, 41, 50	3bitrd 213	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
52	4, 12, 51	3bitrd 213	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   [.wsbc 2937  (class class class)co 5824   CCcc 7730   0cc0 7732   + caddc 7735   - cmin 8046   -ucneg 8047   ZZcz 9167   ...cfz 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-fz 9913

This theorem is referenced by:  fzoshftral  10137