ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzshftral Unicode version

Theorem fzshftral 9839
Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzshftral  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, K   
j, M, k    j, N, k    ph, k
Allowed substitution hint:    ph( j)

Proof of Theorem fzshftral
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 9019 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 fzrevral 9836 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
31, 2mp3an3 1287 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N
) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
433adant3 984 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
5 zsubcl 9049 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  N
)  e.  ZZ )
61, 5mpan 418 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  -  N )  e.  ZZ )
7 zsubcl 9049 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  M
)  e.  ZZ )
81, 7mpan 418 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  -  M )  e.  ZZ )
9 id 19 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ZZ )
10 fzrevral 9836 . . . 4  |-  ( ( ( 0  -  N
)  e.  ZZ  /\  ( 0  -  M
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... (
0  -  M ) ) [. ( 0  -  x )  / 
j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M
) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) ) [. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  / 
j ]. ph ) )
116, 8, 9, 10syl3an 1241 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  (
( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
12113com12 1168 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  (
( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
13 elfzelz 9757 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  (
0  -  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
14 zsubcl 9049 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( K  -  k
)  e.  ZZ )
15 oveq2 5748 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( K  -  k )  ->  (
0  -  x )  =  ( 0  -  ( K  -  k
) ) )
1615sbcco3g 3025 . . . . . . 7  |-  ( ( K  -  k )  e.  ZZ  ->  ( [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph ) )
1714, 16syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( [. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  / 
j ]. ph  <->  [. ( 0  -  ( K  -  k ) )  / 
j ]. ph ) )
1813, 17sylan2 282 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) )  ->  ( [. ( K  -  k )  /  x ]. [. (
0  -  x )  /  j ]. ph  <->  [. ( 0  -  ( K  -  k ) )  / 
j ]. ph ) )
1918ralbidva 2408 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph ) )
20193ad2ant3 987 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph ) )
21 zcn 9013 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
22 zcn 9013 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
23 zcn 9013 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
24 df-neg 7900 . . . . . . . . . 10  |-  -u M  =  ( 0  -  M )
2524oveq2i 5751 . . . . . . . . 9  |-  ( K  -  -u M )  =  ( K  -  (
0  -  M ) )
26 subneg 7975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  -u M
)  =  ( K  +  M ) )
27 addcom 7863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  +  M
)  =  ( M  +  K ) )
2826, 27eqtrd 2148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  -u M
)  =  ( M  +  K ) )
2925, 28syl5eqr 2162 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  (
0  -  M ) )  =  ( M  +  K ) )
30293adant3 984 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  ( 0  -  M ) )  =  ( M  +  K ) )
31 df-neg 7900 . . . . . . . . . 10  |-  -u N  =  ( 0  -  N )
3231oveq2i 5751 . . . . . . . . 9  |-  ( K  -  -u N )  =  ( K  -  (
0  -  N ) )
33 subneg 7975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  -u N
)  =  ( K  +  N ) )
34 addcom 7863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  +  N
)  =  ( N  +  K ) )
3533, 34eqtrd 2148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  -u N
)  =  ( N  +  K ) )
3632, 35syl5eqr 2162 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  (
0  -  N ) )  =  ( N  +  K ) )
37363adant2 983 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  ( 0  -  N ) )  =  ( N  +  K ) )
3830, 37oveq12d 5758 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
39383coml 1171 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
4021, 22, 23, 39syl3an 1241 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
4140raleqdv 2607 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph ) )
42 elfzelz 9757 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) )  ->  k  e.  ZZ )
4342zcnd 9128 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) )  ->  k  e.  CC )
44 df-neg 7900 . . . . . . . 8  |-  -u ( K  -  k )  =  ( 0  -  ( K  -  k
) )
45 negsubdi2 7985 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  -> 
-u ( K  -  k )  =  ( k  -  K ) )
4644, 45syl5eqr 2162 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 0  -  ( K  -  k )
)  =  ( k  -  K ) )
4723, 43, 46syl2an 285 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )  -> 
( 0  -  ( K  -  k )
)  =  ( k  -  K ) )
4847sbceq1d 2885 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )  -> 
( [. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph  <->  [. ( k  -  K )  /  j ]. ph ) )
4948ralbidva 2408 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
50493ad2ant3 987 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
5120, 41, 503bitrd 213 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
524, 12, 513bitrd 213 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   [.wsbc 2880  (class class class)co 5740   CCcc 7582   0cc0 7584    + caddc 7587    - cmin 7897   -ucneg 7898   ZZcz 9008   ...cfz 9741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742
This theorem is referenced by:  fzoshftral  9966
  Copyright terms: Public domain W3C validator