Theorem fzshftral 10515

Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzshftral	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Distinct variable groups:   j, k, K   j, M, k   j, N, k   ph, k

Allowed substitution hint:   ph( j)

Proof of Theorem fzshftral

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9655	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		fzrevral 10512	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
3	1, 2	mp3an3 1367	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
4	3	3adant3 1048	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
5		zsubcl 9685	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 - N ) e. ZZ )
6	1, 5	mpan 428	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0 - N ) e. ZZ )
7		zsubcl 9685	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 - M ) e. ZZ )
8	1, 7	mpan 428	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( 0 - M ) e. ZZ )
9		id 19	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. ZZ )
10		fzrevral 10512	. . . 4 |- ( ( ( 0 - N ) e. ZZ /\ ( 0 - M ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
11	6, 8, 9, 10	syl3an 1320	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
12	11	3com12 1238	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
13		elfzelz 10428	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) -> k e. ZZ )
14		zsubcl 9685	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( K - k ) e. ZZ )
15		oveq2 6093	. . . . . . . 8 |- ( x = ( K - k ) -> ( 0 - x ) = ( 0 - ( K - k ) ) )
16	15	sbcco3g 3205	. . . . . . 7 |- ( ( K - k ) e. ZZ -> ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
17	14, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
18	13, 17	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) ) -> ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
19	18	ralbidva 2546	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
20	19	3ad2ant3 1051	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
21		zcn 9649	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
22		zcn 9649	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
23		zcn 9649	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
24		df-neg 8500	. . . . . . . . . 10 |- -u M = ( 0 - M )
25	24	oveq2i 6096	. . . . . . . . 9 |- ( K - -u M ) = ( K - ( 0 - M ) )
26		subneg 8575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - -u M ) = ( K + M ) )
27		addcom 8463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K + M ) = ( M + K ) )
28	26, 27	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - -u M ) = ( M + K ) )
29	25, 28	eqtr3id 2285	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - ( 0 - M ) ) = ( M + K ) )
30	29	3adant3 1048	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - M ) ) = ( M + K ) )
31		df-neg 8500	. . . . . . . . . 10 |- -u N = ( 0 - N )
32	31	oveq2i 6096	. . . . . . . . 9 |- ( K - -u N ) = ( K - ( 0 - N ) )
33		subneg 8575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - -u N ) = ( K + N ) )
34		addcom 8463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K + N ) = ( N + K ) )
35	33, 34	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - -u N ) = ( N + K ) )
36	32, 35	eqtr3id 2285	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - N ) ) = ( N + K ) )
37	36	3adant2 1047	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - N ) ) = ( N + K ) )
38	30, 37	oveq12d 6103	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
39	38	3coml 1241	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
40	21, 22, 23, 39	syl3an 1320	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
41	40	raleqdv 2755	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
42		elfzelz 10428	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> k e. ZZ )
43	42	zcnd 9769	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> k e. CC )
44		df-neg 8500	. . . . . . . 8 |- -u ( K - k ) = ( 0 - ( K - k ) )
45		negsubdi2 8585	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> -u ( K - k ) = ( k - K ) )
46	44, 45	eqtr3id 2285	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( 0 - ( K - k ) ) = ( k - K ) )
47	23, 43, 46	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( 0 - ( K - k ) ) = ( k - K ) )
48	47	sbceq1d 3056	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
49	48	ralbidva 2546	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
50	49	3ad2ant3 1051	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
51	20, 41, 50	3bitrd 214	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
52	4, 12, 51	3bitrd 214	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   [.wsbc 3051  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   + caddc 8182   - cmin 8497   -ucneg 8498   ZZcz 9644   ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by:  fzoshftral  10657