Theorem fzshftral 10043

Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzshftral	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Distinct variable groups:   j, k, K   j, M, k   j, N, k   ph, k

Allowed substitution hint:   ph( j)

Proof of Theorem fzshftral

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9202	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		fzrevral 10040	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
3	1, 2	mp3an3 1316	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
4	3	3adant3 1007	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
5		zsubcl 9232	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 - N ) e. ZZ )
6	1, 5	mpan 421	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0 - N ) e. ZZ )
7		zsubcl 9232	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 - M ) e. ZZ )
8	1, 7	mpan 421	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( 0 - M ) e. ZZ )
9		id 19	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. ZZ )
10		fzrevral 10040	. . . 4 |- ( ( ( 0 - N ) e. ZZ /\ ( 0 - M ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
11	6, 8, 9, 10	syl3an 1270	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
12	11	3com12 1197	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
13		elfzelz 9960	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) -> k e. ZZ )
14		zsubcl 9232	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( K - k ) e. ZZ )
15		oveq2 5850	. . . . . . . 8 |- ( x = ( K - k ) -> ( 0 - x ) = ( 0 - ( K - k ) ) )
16	15	sbcco3g 3102	. . . . . . 7 |- ( ( K - k ) e. ZZ -> ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
17	14, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
18	13, 17	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) ) -> ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
19	18	ralbidva 2462	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
20	19	3ad2ant3 1010	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
21		zcn 9196	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
22		zcn 9196	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
23		zcn 9196	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
24		df-neg 8072	. . . . . . . . . 10 |- -u M = ( 0 - M )
25	24	oveq2i 5853	. . . . . . . . 9 |- ( K - -u M ) = ( K - ( 0 - M ) )
26		subneg 8147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - -u M ) = ( K + M ) )
27		addcom 8035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K + M ) = ( M + K ) )
28	26, 27	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - -u M ) = ( M + K ) )
29	25, 28	eqtr3id 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - ( 0 - M ) ) = ( M + K ) )
30	29	3adant3 1007	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - M ) ) = ( M + K ) )
31		df-neg 8072	. . . . . . . . . 10 |- -u N = ( 0 - N )
32	31	oveq2i 5853	. . . . . . . . 9 |- ( K - -u N ) = ( K - ( 0 - N ) )
33		subneg 8147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - -u N ) = ( K + N ) )
34		addcom 8035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K + N ) = ( N + K ) )
35	33, 34	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - -u N ) = ( N + K ) )
36	32, 35	eqtr3id 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - N ) ) = ( N + K ) )
37	36	3adant2 1006	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - N ) ) = ( N + K ) )
38	30, 37	oveq12d 5860	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
39	38	3coml 1200	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
40	21, 22, 23, 39	syl3an 1270	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
41	40	raleqdv 2667	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
42		elfzelz 9960	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> k e. ZZ )
43	42	zcnd 9314	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> k e. CC )
44		df-neg 8072	. . . . . . . 8 |- -u ( K - k ) = ( 0 - ( K - k ) )
45		negsubdi2 8157	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> -u ( K - k ) = ( k - K ) )
46	44, 45	eqtr3id 2213	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( 0 - ( K - k ) ) = ( k - K ) )
47	23, 43, 46	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( 0 - ( K - k ) ) = ( k - K ) )
48	47	sbceq1d 2956	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
49	48	ralbidva 2462	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
50	49	3ad2ant3 1010	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
51	20, 41, 50	3bitrd 213	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
52	4, 12, 51	3bitrd 213	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   [.wsbc 2951  (class class class)co 5842   CCcc 7751   0cc0 7753   + caddc 7756   - cmin 8069   -ucneg 8070   ZZcz 9191   ...cfz 9944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945

This theorem is referenced by:  fzoshftral  10173