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Theorem fzshftral 9489
Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzshftral  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, K   
j, M, k    j, N, k    ph, k
Allowed substitution hint:    ph( j)

Proof of Theorem fzshftral
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 8731 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 fzrevral 9486 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
31, 2mp3an3 1262 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N
) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
433adant3 963 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
5 zsubcl 8761 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  N
)  e.  ZZ )
61, 5mpan 415 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  -  N )  e.  ZZ )
7 zsubcl 8761 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  M
)  e.  ZZ )
81, 7mpan 415 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  -  M )  e.  ZZ )
9 id 19 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ZZ )
10 fzrevral 9486 . . . 4  |-  ( ( ( 0  -  N
)  e.  ZZ  /\  ( 0  -  M
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... (
0  -  M ) ) [. ( 0  -  x )  / 
j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M
) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) ) [. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  / 
j ]. ph ) )
116, 8, 9, 10syl3an 1216 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  (
( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
12113com12 1147 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  (
( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
13 elfzelz 9409 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  (
0  -  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
14 zsubcl 8761 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( K  -  k
)  e.  ZZ )
15 oveq2 5642 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( K  -  k )  ->  (
0  -  x )  =  ( 0  -  ( K  -  k
) ) )
1615sbcco3g 2983 . . . . . . 7  |-  ( ( K  -  k )  e.  ZZ  ->  ( [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph ) )
1714, 16syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( [. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  / 
j ]. ph  <->  [. ( 0  -  ( K  -  k ) )  / 
j ]. ph ) )
1813, 17sylan2 280 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) )  ->  ( [. ( K  -  k )  /  x ]. [. (
0  -  x )  /  j ]. ph  <->  [. ( 0  -  ( K  -  k ) )  / 
j ]. ph ) )
1918ralbidva 2376 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph ) )
20193ad2ant3 966 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph ) )
21 zcn 8725 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
22 zcn 8725 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
23 zcn 8725 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
24 df-neg 7635 . . . . . . . . . 10  |-  -u M  =  ( 0  -  M )
2524oveq2i 5645 . . . . . . . . 9  |-  ( K  -  -u M )  =  ( K  -  (
0  -  M ) )
26 subneg 7710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  -u M
)  =  ( K  +  M ) )
27 addcom 7598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  +  M
)  =  ( M  +  K ) )
2826, 27eqtrd 2120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  -u M
)  =  ( M  +  K ) )
2925, 28syl5eqr 2134 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  (
0  -  M ) )  =  ( M  +  K ) )
30293adant3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  ( 0  -  M ) )  =  ( M  +  K ) )
31 df-neg 7635 . . . . . . . . . 10  |-  -u N  =  ( 0  -  N )
3231oveq2i 5645 . . . . . . . . 9  |-  ( K  -  -u N )  =  ( K  -  (
0  -  N ) )
33 subneg 7710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  -u N
)  =  ( K  +  N ) )
34 addcom 7598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  +  N
)  =  ( N  +  K ) )
3533, 34eqtrd 2120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  -u N
)  =  ( N  +  K ) )
3632, 35syl5eqr 2134 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  (
0  -  N ) )  =  ( N  +  K ) )
37363adant2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  ( 0  -  N ) )  =  ( N  +  K ) )
3830, 37oveq12d 5652 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
39383coml 1150 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
4021, 22, 23, 39syl3an 1216 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
4140raleqdv 2568 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph ) )
42 elfzelz 9409 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) )  ->  k  e.  ZZ )
4342zcnd 8839 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) )  ->  k  e.  CC )
44 df-neg 7635 . . . . . . . 8  |-  -u ( K  -  k )  =  ( 0  -  ( K  -  k
) )
45 negsubdi2 7720 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  -> 
-u ( K  -  k )  =  ( k  -  K ) )
4644, 45syl5eqr 2134 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 0  -  ( K  -  k )
)  =  ( k  -  K ) )
4723, 43, 46syl2an 283 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )  -> 
( 0  -  ( K  -  k )
)  =  ( k  -  K ) )
4847sbceq1d 2843 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )  -> 
( [. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph  <->  [. ( k  -  K )  /  j ]. ph ) )
4948ralbidva 2376 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
50493ad2ant3 966 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
5120, 41, 503bitrd 212 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
524, 12, 513bitrd 212 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   [.wsbc 2838  (class class class)co 5634   CCcc 7327   0cc0 7329    + caddc 7332    - cmin 7632   -ucneg 7633   ZZcz 8720   ...cfz 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394
This theorem is referenced by:  fzoshftral  9614
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