Theorem fzshftral 10342

Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzshftral	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Distinct variable groups:   j, k, K   j, M, k   j, N, k   ph, k

Allowed substitution hint:   ph( j)

Proof of Theorem fzshftral

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9489	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		fzrevral 10339	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
3	1, 2	mp3an3 1362	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
4	3	3adant3 1043	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
5		zsubcl 9519	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 - N ) e. ZZ )
6	1, 5	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0 - N ) e. ZZ )
7		zsubcl 9519	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 - M ) e. ZZ )
8	1, 7	mpan 424	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( 0 - M ) e. ZZ )
9		id 19	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. ZZ )
10		fzrevral 10339	. . . 4 |- ( ( ( 0 - N ) e. ZZ /\ ( 0 - M ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
11	6, 8, 9, 10	syl3an 1315	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
12	11	3com12 1233	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. x e. ( ( 0 - N ) ... ( 0 - M ) ) [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph ) )
13		elfzelz 10259	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) -> k e. ZZ )
14		zsubcl 9519	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( K - k ) e. ZZ )
15		oveq2 6025	. . . . . . . 8 |- ( x = ( K - k ) -> ( 0 - x ) = ( 0 - ( K - k ) ) )
16	15	sbcco3g 3185	. . . . . . 7 |- ( ( K - k ) e. ZZ -> ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
17	14, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
18	13, 17	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) ) -> ( [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
19	18	ralbidva 2528	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
20	19	3ad2ant3 1046	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
21		zcn 9483	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
22		zcn 9483	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
23		zcn 9483	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
24		df-neg 8352	. . . . . . . . . 10 |- -u M = ( 0 - M )
25	24	oveq2i 6028	. . . . . . . . 9 |- ( K - -u M ) = ( K - ( 0 - M ) )
26		subneg 8427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - -u M ) = ( K + M ) )
27		addcom 8315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K + M ) = ( M + K ) )
28	26, 27	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - -u M ) = ( M + K ) )
29	25, 28	eqtr3id 2278	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - ( 0 - M ) ) = ( M + K ) )
30	29	3adant3 1043	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - M ) ) = ( M + K ) )
31		df-neg 8352	. . . . . . . . . 10 |- -u N = ( 0 - N )
32	31	oveq2i 6028	. . . . . . . . 9 |- ( K - -u N ) = ( K - ( 0 - N ) )
33		subneg 8427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - -u N ) = ( K + N ) )
34		addcom 8315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K + N ) = ( N + K ) )
35	33, 34	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - -u N ) = ( N + K ) )
36	32, 35	eqtr3id 2278	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - N ) ) = ( N + K ) )
37	36	3adant2 1042	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( 0 - N ) ) = ( N + K ) )
38	30, 37	oveq12d 6035	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
39	38	3coml 1236	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
40	21, 22, 23, 39	syl3an 1315	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) = ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) )
41	40	raleqdv 2736	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph ) )
42		elfzelz 10259	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> k e. ZZ )
43	42	zcnd 9602	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) -> k e. CC )
44		df-neg 8352	. . . . . . . 8 |- -u ( K - k ) = ( 0 - ( K - k ) )
45		negsubdi2 8437	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> -u ( K - k ) = ( k - K ) )
46	44, 45	eqtr3id 2278	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ k e. CC ) -> ( 0 - ( K - k ) ) = ( k - K ) )
47	23, 43, 46	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( 0 - ( K - k ) ) = ( k - K ) )
48	47	sbceq1d 3036	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) ) -> ( [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
49	48	ralbidva 2528	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
50	49	3ad2ant3 1046	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( 0 - ( K - k ) ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
51	20, 41, 50	3bitrd 214	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( 0 - M ) ) ... ( K - ( 0 - N ) ) ) [. ( K - k ) / x ]. [. ( 0 - x ) / j ]. ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )
52	4, 12, 51	3bitrd 214	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( M + K ) ... ( N + K ) ) [. ( k - K ) / j ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   [.wsbc 3031  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   + caddc 8034   - cmin 8349   -ucneg 8350   ZZcz 9478   ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  fzoshftral  10483