Theorem inffinp1 12589

Description: An infinite set contains an element not contained in a given finite subset. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
inffinp1.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
inffinp1.inf	⊢ (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
inffinp1.ss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
inffinp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
inffinp1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem inffinp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inffinp1.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		inffinp1.inf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
3		inffinp1.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4		inffinp1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
5		difinfinf 7162	. . . 4 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
7		infm 6962	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
9		eldif 3163	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	exbii 1616	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
11		df-rex 2478	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
12	10, 11	bitr4i 187	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
13	8, 12	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ∖ cdif 3151   ⊆ wss 3154   class class class wbr 4030  ωcom 4623   ≼ cdom 6795  Fincfn 6796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-dju 7099  df-inl 7108  df-inr 7109  df-case 7145

This theorem is referenced by:  ctinf  12590