ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inffinp1 GIF version

Theorem inffinp1 12430
Description: An infinite set contains an element not contained in a given finite subset. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
inffinp1.dc (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
inffinp1.inf (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
inffinp1.ss (𝜑𝐵𝐴)
inffinp1.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
inffinp1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem inffinp1
StepHypRef Expression
1 inffinp1.dc . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2 inffinp1.inf . . . 4 (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
3 inffinp1.ss . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
4 inffinp1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
5 difinfinf 7100 . . . 4 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) → ω ≼ (𝐴𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1239 . . 3 (𝜑 → ω ≼ (𝐴𝐵))
7 infm 6904 . . 3 (ω ≼ (𝐴𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
86, 7syl 14 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
9 eldif 3139 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
109exbii 1605 . . 3 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
11 df-rex 2461 . . 3 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
1210, 11bitr4i 187 . 2 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵)
138, 12sylib 122 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  DECID wdc 834  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  cdif 3127  wss 3130   class class class wbr 4004  ωcom 4590  cdom 6739  Fincfn 6740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-1o 6417  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-dju 7037  df-inl 7046  df-inr 7047  df-case 7083
This theorem is referenced by:  ctinf  12431
  Copyright terms: Public domain W3C validator