Theorem inffinp1 13264

Description: An infinite set contains an element not contained in a given finite subset. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
inffinp1.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
inffinp1.inf	⊢ (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
inffinp1.ss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
inffinp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
inffinp1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem inffinp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inffinp1.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		inffinp1.inf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
3		inffinp1.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4		inffinp1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
5		difinfinf 7405	. . . 4 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1275	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
7		infm 7177	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
9		eldif 3223	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	exbii 1654	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
11		df-rex 2528	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
12	10, 11	bitr4i 187	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
13	8, 12	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ∖ cdif 3211   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114  ωcom 4717   ≼ cdom 6987  Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-dju 7342  df-inl 7351  df-inr 7352  df-case 7388

This theorem is referenced by:  ctinf  13265