Theorem inffinp1 13298

Description: An infinite set contains an element not contained in a given finite subset. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
inffinp1.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
inffinp1.inf	⊢ (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
inffinp1.ss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
inffinp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
inffinp1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem inffinp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inffinp1.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		inffinp1.inf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
3		inffinp1.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4		inffinp1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
5		difinfinf 7431	. . . 4 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
7		infm 7201	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
9		eldif 3229	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	exbii 1658	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
11		df-rex 2534	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
12	10, 11	bitr4i 187	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
13	8, 12	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4125  ωcom 4732   ≼ cdom 7011  Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-dju 7368  df-inl 7377  df-inr 7378  df-case 7414

This theorem is referenced by:  ctinf  13299