ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inffinp1 GIF version

Theorem inffinp1 11976
Description: An infinite set contains an element not contained in a given finite subset. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
inffinp1.dc (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
inffinp1.inf (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
inffinp1.ss (𝜑𝐵𝐴)
inffinp1.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
inffinp1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem inffinp1
StepHypRef Expression
1 inffinp1.dc . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2 inffinp1.inf . . . 4 (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
3 inffinp1.ss . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
4 inffinp1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
5 difinfinf 6993 . . . 4 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin)) → ω ≼ (𝐴𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1218 . . 3 (𝜑 → ω ≼ (𝐴𝐵))
7 infm 6805 . . 3 (ω ≼ (𝐴𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
86, 7syl 14 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
9 eldif 3084 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
109exbii 1585 . . 3 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
11 df-rex 2423 . . 3 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
1210, 11bitr4i 186 . 2 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵)
138, 12sylib 121 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  DECID wdc 820  wex 1469  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  cdif 3072  wss 3075   class class class wbr 3936  ωcom 4511  cdom 6640  Fincfn 6641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-1o 6320  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-dju 6930  df-inl 6939  df-inr 6940  df-case 6976
This theorem is referenced by:  ctinf  11977
  Copyright terms: Public domain W3C validator