Theorem inffinp1 12429

Description: An infinite set contains an element not contained in a given finite subset. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
inffinp1.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
inffinp1.inf	⊢ (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
inffinp1.ss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
inffinp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
inffinp1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem inffinp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inffinp1.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		inffinp1.inf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
3		inffinp1.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4		inffinp1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
5		difinfinf 7099	. . . 4 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1239	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
7		infm 6903	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
9		eldif 3138	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	exbii 1605	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
11		df-rex 2461	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
12	10, 11	bitr4i 187	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
13	8, 12	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 834  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ∖ cdif 3126   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4003  ωcom 4589   ≼ cdom 6738  Fincfn 6739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-1o 6416  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-dju 7036  df-inl 7045  df-inr 7046  df-case 7082

This theorem is referenced by:  ctinf  12430