Theorem inffinp1 13130

Description: An infinite set contains an element not contained in a given finite subset. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
inffinp1.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
inffinp1.inf	⊢ (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
inffinp1.ss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
inffinp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
inffinp1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem inffinp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inffinp1.dc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
2		inffinp1.inf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
3		inffinp1.ss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4		inffinp1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
5		difinfinf 7360	. . . 4 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1275	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵))
7		infm 7139	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ∖ 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
9		eldif 3210	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	exbii 1654	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
11		df-rex 2517	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
12	10, 11	bitr4i 187	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
13	8, 12	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   ∖ cdif 3198   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093  ωcom 4694   ≼ cdom 6951  Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-dju 7297  df-inl 7306  df-inr 7307  df-case 7343

This theorem is referenced by:  ctinf  13131