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Theorem difinfinf 7094
Description: An infinite set minus a finite subset is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
difinfinf  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  ->  om 
~<_  ( A  \  B
) )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem difinfinf
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3247 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A 
\  w )  =  ( A  \  (/) ) )
21breq2d 4012 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( om  ~<_  ( A  \  w
)  <->  om  ~<_  ( A  \  (/) ) ) )
3 difeq2 3247 . . 3  |-  ( w  =  u  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  u
) )
43breq2d 4012 . 2  |-  ( w  =  u  ->  ( om 
~<_  ( A  \  w
)  <->  om  ~<_  ( A  \  u ) ) )
5 difeq2 3247 . . 3  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  ( u  u.  { v } ) ) )
65breq2d 4012 . 2  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( om  ~<_  ( A 
\  w )  <->  om  ~<_  ( A 
\  ( u  u. 
{ v } ) ) ) )
7 difeq2 3247 . . 3  |-  ( w  =  B  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  B
) )
87breq2d 4012 . 2  |-  ( w  =  B  ->  ( om 
~<_  ( A  \  w
)  <->  om  ~<_  ( A  \  B ) ) )
9 simplr 528 . . 3  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  ->  om 
~<_  A )
10 dif0 3493 . . 3  |-  ( A 
\  (/) )  =  A
119, 10breqtrrdi 4042 . 2  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  ->  om 
~<_  ( A  \  (/) ) )
12 difss 3261 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  u )  C_  A
13 ssralv 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  u ) 
C_  A  ->  ( A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. y  e.  ( A  \  u
)DECID  x  =  y ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. y  e.  ( A  \  u )DECID  x  =  y )
1514ralimi 2540 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  \  u )DECID  x  =  y )
16 ssralv 3219 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  u ) 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  \  u )DECID  x  =  y  ->  A. x  e.  ( A  \  u
) A. y  e.  ( A  \  u
)DECID  x  =  y ) )
1712, 15, 16mpsyl 65 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. x  e.  ( A  \  u ) A. y  e.  ( A  \  u )DECID  x  =  y )
1817ad5antr 496 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  A. x  e.  ( A  \  u ) A. y  e.  ( A  \  u )DECID  x  =  y )
19 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  om  ~<_  ( A  \  u ) )
20 simprl 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  ->  B  C_  A )
2120ad3antrrr 492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  B  C_  A
)
22 simplrr 536 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  v  e.  ( B  \  u ) )
23 ssdif 3270 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  \  u )  C_  ( A  \  u
) )
2423sseld 3154 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  (
v  e.  ( B 
\  u )  -> 
v  e.  ( A 
\  u ) ) )
2521, 22, 24sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  v  e.  ( A  \  u ) )
26 difinfsn 7093 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ( A  \  u ) A. y  e.  ( A  \  u )DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  ( A  \  u
)  /\  v  e.  ( A  \  u
) )  ->  om  ~<_  ( ( A  \  u ) 
\  { v } ) )
2718, 19, 25, 26syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  om  ~<_  ( ( A  \  u )  \  { v } ) )
28 difun1 3395 . . . 4  |-  ( A 
\  ( u  u. 
{ v } ) )  =  ( ( A  \  u ) 
\  { v } )
2927, 28breqtrrdi 4042 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  om  ~<_  ( A  \  ( u  u.  {
v } ) ) )
3029ex 115 . 2  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  ->  ( om  ~<_  ( A 
\  u )  ->  om 
~<_  ( A  \  (
u  u.  { v } ) ) ) )
31 simprr 531 . 2  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  ->  B  e.  Fin )
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 6886 1  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  ->  om 
~<_  ( A  \  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455    \ cdif 3126    u. cun 3127    C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3591   class class class wbr 4000   omcom 4586    ~<_ cdom 6733   Fincfn 6734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-1o 6411  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-dju 7031  df-inl 7040  df-inr 7041  df-case 7077
This theorem is referenced by:  inffinp1  12413
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