Theorem difinfinf 7343

Description: An infinite set minus a finite subset is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
difinfinf	|- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem difinfinf

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 3321	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
2	1	breq2d 4105	. 2 |- ( w = (/) -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ (/) ) ) )
3		difeq2 3321	. . 3 |- ( w = u -> ( A \ w ) = ( A \ u ) )
4	3	breq2d 4105	. 2 |- ( w = u -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ u ) ) )
5		difeq2 3321	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( u u. { v } ) ) )
6	5	breq2d 4105	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) ) )
7		difeq2 3321	. . 3 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
8	7	breq2d 4105	. 2 |- ( w = B -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ B ) ) )
9		simplr 529	. . 3 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ A )
10		dif0 3567	. . 3 |- ( A \ (/) ) = A
11	9, 10	breqtrrdi 4135	. 2 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ (/) ) )
12		difss 3335	. . . . . . 7 |- ( A \ u ) C_ A
13		ssralv 3292	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ u ) C_ A -> ( A. y e. A DECID x = y -> A. y e. ( A \ u )DECID x = y ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A DECID x = y -> A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
15	14	ralimi 2596	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> A. x e. A A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
16		ssralv 3292	. . . . . . 7 |- ( ( A \ u ) C_ A -> ( A. x e. A A. y e. ( A \ u )DECID x = y -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y ) )
17	12, 15, 16	mpsyl 65	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
18	17	ad5antr 496	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
19		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( A \ u ) )
20		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> B C_ A )
21	20	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> B C_ A )
22		simplrr 538	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> v e. ( B \ u ) )
23		ssdif 3344	. . . . . . 7 |- ( B C_ A -> ( B \ u ) C_ ( A \ u ) )
24	23	sseld 3227	. . . . . 6 |- ( B C_ A -> ( v e. ( B \ u ) -> v e. ( A \ u ) ) )
25	21, 22, 24	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> v e. ( A \ u ) )
26		difinfsn 7342	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y /\ om ~<_ ( A \ u ) /\ v e. ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( ( A \ u ) \ { v } ) )
27	18, 19, 25, 26	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( ( A \ u ) \ { v } ) )
28		difun1 3469	. . . 4 |- ( A \ ( u u. { v } ) ) = ( ( A \ u ) \ { v } )
29	27, 28	breqtrrdi 4135	. . 3 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) )
30	29	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) -> ( om ~<_ ( A \ u ) -> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) ) )
31		simprr 533	. 2 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> B e. Fin )
32	2, 4, 6, 8, 11, 30, 31	findcard2sd 7124	1 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   \ cdif 3198   u. cun 3199   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   class class class wbr 4093   omcom 4694   ~<_ cdom 6951   Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-dju 7280  df-inl 7289  df-inr 7290  df-case 7326

This theorem is referenced by:  inffinp1  13113