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Theorem difinfinf 7066
Description: An infinite set minus a finite subset is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
difinfinf |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )
Distinct variable group:   x, A, y
Allowed substitution hints:   B( x, y)
Proof of Theorem difinfinf
Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3234 . . 3 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
21breq2d 3994 . 2 |- ( w = (/) -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ (/) ) ) )
3 difeq2 3234 . . 3 |- ( w = u -> ( A \ w ) = ( A \ u ) )
43breq2d 3994 . 2 |- ( w = u -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ u ) ) )
5 difeq2 3234 . . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( u u. { v } ) ) )
65breq2d 3994 . 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) ) )
7 difeq2 3234 . . 3 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
87breq2d 3994 . 2 |- ( w = B -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ B ) ) )
9 simplr 520 . . 3 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ A )
10 dif0 3479 . . 3 |- ( A \ (/) ) = A
119, 10breqtrrdi 4024 . 2 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ (/) ) )
12 difss 3248 . . . . . . 7 |- ( A \ u ) C_ A
13 ssralv 3206 . . . . . . . . 9 |- ( ( A \ u ) C_ A -> ( A. y e. A DECID x = y -> A. y e. ( A \ u )DECID x = y ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( A. y e. A DECID x = y -> A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
1514ralimi 2529 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> A. x e. A A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
16 ssralv 3206 . . . . . . 7 |- ( ( A \ u ) C_ A -> ( A. x e. A A. y e. ( A \ u )DECID x = y -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y ) )
1712, 15, 16mpsyl 65 . . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
1817ad5antr 488 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
19 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( A \ u ) )
20 simprl 521 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> B C_ A )
2120ad3antrrr 484 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> B C_ A )
22 simplrr 526 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> v e. ( B \ u ) )
23 ssdif 3257 . . . . . . 7 |- ( B C_ A -> ( B \ u ) C_ ( A \ u ) )
2423sseld 3141 . . . . . 6 |- ( B C_ A -> ( v e. ( B \ u ) -> v e. ( A \ u ) ) )
2521, 22, 24sylc 62 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> v e. ( A \ u ) )
26 difinfsn 7065 . . . . 5 |- ( ( A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y /\ om ~<_ ( A \ u ) /\ v e. ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( ( A \ u ) \ { v } ) )
2718, 19, 25, 26syl3anc 1228 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( ( A \ u ) \ { v } ) )
28 difun1 3382 . . . 4 |- ( A \ ( u u. { v } ) ) = ( ( A \ u ) \ { v } )
2927, 28breqtrrdi 4024 . . 3 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) )
3029ex 114 . 2 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) -> ( om ~<_ ( A \ u ) -> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) ) )
31 simprr 522 . 2 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> B e. Fin )
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 6858 1 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   \ cdif 3113   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   class class class wbr 3982   omcom 4567   ~<_ cdom 6705   Fincfn 6706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013  df-case 7049
This theorem is referenced by:  inffinp1  12362
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