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Theorem difinfinf 7090
Description: An infinite set minus a finite subset is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
difinfinf  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  ->  om 
~<_  ( A  \  B
) )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem difinfinf
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3245 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A 
\  w )  =  ( A  \  (/) ) )
21breq2d 4010 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( om  ~<_  ( A  \  w
)  <->  om  ~<_  ( A  \  (/) ) ) )
3 difeq2 3245 . . 3  |-  ( w  =  u  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  u
) )
43breq2d 4010 . 2  |-  ( w  =  u  ->  ( om 
~<_  ( A  \  w
)  <->  om  ~<_  ( A  \  u ) ) )
5 difeq2 3245 . . 3  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  ( u  u.  { v } ) ) )
65breq2d 4010 . 2  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( om  ~<_  ( A 
\  w )  <->  om  ~<_  ( A 
\  ( u  u. 
{ v } ) ) ) )
7 difeq2 3245 . . 3  |-  ( w  =  B  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  B
) )
87breq2d 4010 . 2  |-  ( w  =  B  ->  ( om 
~<_  ( A  \  w
)  <->  om  ~<_  ( A  \  B ) ) )
9 simplr 528 . . 3  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  ->  om 
~<_  A )
10 dif0 3491 . . 3  |-  ( A 
\  (/) )  =  A
119, 10breqtrrdi 4040 . 2  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  ->  om 
~<_  ( A  \  (/) ) )
12 difss 3259 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  u )  C_  A
13 ssralv 3217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  u ) 
C_  A  ->  ( A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. y  e.  ( A  \  u
)DECID  x  =  y ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. y  e.  ( A  \  u )DECID  x  =  y )
1514ralimi 2538 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  \  u )DECID  x  =  y )
16 ssralv 3217 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  u ) 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  ( A  \  u )DECID  x  =  y  ->  A. x  e.  ( A  \  u
) A. y  e.  ( A  \  u
)DECID  x  =  y ) )
1712, 15, 16mpsyl 65 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. x  e.  ( A  \  u ) A. y  e.  ( A  \  u )DECID  x  =  y )
1817ad5antr 496 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  A. x  e.  ( A  \  u ) A. y  e.  ( A  \  u )DECID  x  =  y )
19 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  om  ~<_  ( A  \  u ) )
20 simprl 529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  ->  B  C_  A )
2120ad3antrrr 492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  B  C_  A
)
22 simplrr 536 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  v  e.  ( B  \  u ) )
23 ssdif 3268 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  \  u )  C_  ( A  \  u
) )
2423sseld 3152 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  (
v  e.  ( B 
\  u )  -> 
v  e.  ( A 
\  u ) ) )
2521, 22, 24sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  v  e.  ( A  \  u ) )
26 difinfsn 7089 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  ( A  \  u ) A. y  e.  ( A  \  u )DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  ( A  \  u
)  /\  v  e.  ( A  \  u
) )  ->  om  ~<_  ( ( A  \  u ) 
\  { v } ) )
2718, 19, 25, 26syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  om  ~<_  ( ( A  \  u )  \  { v } ) )
28 difun1 3393 . . . 4  |-  ( A 
\  ( u  u. 
{ v } ) )  =  ( ( A  \  u ) 
\  { v } )
2927, 28breqtrrdi 4040 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  /\  om  ~<_  ( A 
\  u ) )  ->  om  ~<_  ( A  \  ( u  u.  {
v } ) ) )
3029ex 115 . 2  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  B  /\  v  e.  ( B  \  u ) ) )  ->  ( om  ~<_  ( A 
\  u )  ->  om 
~<_  ( A  \  (
u  u.  { v } ) ) ) )
31 simprr 531 . 2  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  ->  B  e.  Fin )
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 6882 1  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  /\  ( B  C_  A  /\  B  e.  Fin ) )  ->  om 
~<_  ( A  \  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453    \ cdif 3124    u. cun 3125    C_ wss 3127   (/)c0 3420   {csn 3589   class class class wbr 3998   omcom 4583    ~<_ cdom 6729   Fincfn 6730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-1o 6407  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-dju 7027  df-inl 7036  df-inr 7037  df-case 7073
This theorem is referenced by:  inffinp1  12395
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