Theorem difinfinf 7405

Description: An infinite set minus a finite subset is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
difinfinf	|- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem difinfinf

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 3335	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
2	1	breq2d 4126	. 2 |- ( w = (/) -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ (/) ) ) )
3		difeq2 3335	. . 3 |- ( w = u -> ( A \ w ) = ( A \ u ) )
4	3	breq2d 4126	. 2 |- ( w = u -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ u ) ) )
5		difeq2 3335	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( u u. { v } ) ) )
6	5	breq2d 4126	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) ) )
7		difeq2 3335	. . 3 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
8	7	breq2d 4126	. 2 |- ( w = B -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ B ) ) )
9		simplr 529	. . 3 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ A )
10		dif0 3583	. . 3 |- ( A \ (/) ) = A
11	9, 10	breqtrrdi 4156	. 2 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ (/) ) )
12		difss 3349	. . . . . . 7 |- ( A \ u ) C_ A
13		ssralv 3306	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ u ) C_ A -> ( A. y e. A DECID x = y -> A. y e. ( A \ u )DECID x = y ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A DECID x = y -> A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
15	14	ralimi 2607	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> A. x e. A A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
16		ssralv 3306	. . . . . . 7 |- ( ( A \ u ) C_ A -> ( A. x e. A A. y e. ( A \ u )DECID x = y -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y ) )
17	12, 15, 16	mpsyl 65	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
18	17	ad5antr 496	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
19		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( A \ u ) )
20		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> B C_ A )
21	20	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> B C_ A )
22		simplrr 538	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> v e. ( B \ u ) )
23		ssdif 3358	. . . . . . 7 |- ( B C_ A -> ( B \ u ) C_ ( A \ u ) )
24	23	sseld 3241	. . . . . 6 |- ( B C_ A -> ( v e. ( B \ u ) -> v e. ( A \ u ) ) )
25	21, 22, 24	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> v e. ( A \ u ) )
26		difinfsn 7404	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y /\ om ~<_ ( A \ u ) /\ v e. ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( ( A \ u ) \ { v } ) )
27	18, 19, 25, 26	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( ( A \ u ) \ { v } ) )
28		difun1 3485	. . . 4 |- ( A \ ( u u. { v } ) ) = ( ( A \ u ) \ { v } )
29	27, 28	breqtrrdi 4156	. . 3 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) )
30	29	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) -> ( om ~<_ ( A \ u ) -> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) ) )
31		simprr 533	. 2 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> B e. Fin )
32	2, 4, 6, 8, 11, 30, 31	findcard2sd 7162	1 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   \ cdif 3211   u. cun 3212   C_ wss 3214   (/)c0 3512   {csn 3694   class class class wbr 4114   omcom 4717   ~<_ cdom 6987   Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-dju 7342  df-inl 7351  df-inr 7352  df-case 7388

This theorem is referenced by:  inffinp1  13264