Theorem difinfinf 7218

Description: An infinite set minus a finite subset is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
difinfinf	|- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )

Distinct variable group:   x, A, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem difinfinf

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 3289	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
2	1	breq2d 4063	. 2 |- ( w = (/) -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ (/) ) ) )
3		difeq2 3289	. . 3 |- ( w = u -> ( A \ w ) = ( A \ u ) )
4	3	breq2d 4063	. 2 |- ( w = u -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ u ) ) )
5		difeq2 3289	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( u u. { v } ) ) )
6	5	breq2d 4063	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) ) )
7		difeq2 3289	. . 3 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
8	7	breq2d 4063	. 2 |- ( w = B -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ B ) ) )
9		simplr 528	. . 3 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ A )
10		dif0 3535	. . 3 |- ( A \ (/) ) = A
11	9, 10	breqtrrdi 4093	. 2 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ (/) ) )
12		difss 3303	. . . . . . 7 |- ( A \ u ) C_ A
13		ssralv 3261	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ u ) C_ A -> ( A. y e. A DECID x = y -> A. y e. ( A \ u )DECID x = y ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A DECID x = y -> A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
15	14	ralimi 2570	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> A. x e. A A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
16		ssralv 3261	. . . . . . 7 |- ( ( A \ u ) C_ A -> ( A. x e. A A. y e. ( A \ u )DECID x = y -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y ) )
17	12, 15, 16	mpsyl 65	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
18	17	ad5antr 496	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
19		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( A \ u ) )
20		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> B C_ A )
21	20	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> B C_ A )
22		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> v e. ( B \ u ) )
23		ssdif 3312	. . . . . . 7 |- ( B C_ A -> ( B \ u ) C_ ( A \ u ) )
24	23	sseld 3196	. . . . . 6 |- ( B C_ A -> ( v e. ( B \ u ) -> v e. ( A \ u ) ) )
25	21, 22, 24	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> v e. ( A \ u ) )
26		difinfsn 7217	. . . . 5 |- ( ( A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y /\ om ~<_ ( A \ u ) /\ v e. ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( ( A \ u ) \ { v } ) )
27	18, 19, 25, 26	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( ( A \ u ) \ { v } ) )
28		difun1 3437	. . . 4 |- ( A \ ( u u. { v } ) ) = ( ( A \ u ) \ { v } )
29	27, 28	breqtrrdi 4093	. . 3 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) )
30	29	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) -> ( om ~<_ ( A \ u ) -> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) ) )
31		simprr 531	. 2 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> B e. Fin )
32	2, 4, 6, 8, 11, 30, 31	findcard2sd 7004	1 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   \ cdif 3167   u. cun 3168   C_ wss 3170   (/)c0 3464   {csn 3638   class class class wbr 4051   omcom 4646   ~<_ cdom 6839   Fincfn 6840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-1o 6515  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-dju 7155  df-inl 7164  df-inr 7165  df-case 7201

This theorem is referenced by:  inffinp1  12875