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Theorem difinfinf 7291
Description: An infinite set minus a finite subset is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
difinfinf |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )
Distinct variable group:   x, A, y
Allowed substitution hints:   B( x, y)
Proof of Theorem difinfinf
Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3317 . . 3 |- ( w = (/) -> ( A \ w ) = ( A \ (/) ) )
21breq2d 4098 . 2 |- ( w = (/) -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ (/) ) ) )
3 difeq2 3317 . . 3 |- ( w = u -> ( A \ w ) = ( A \ u ) )
43breq2d 4098 . 2 |- ( w = u -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ u ) ) )
5 difeq2 3317 . . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A \ w ) = ( A \ ( u u. { v } ) ) )
65breq2d 4098 . 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) ) )
7 difeq2 3317 . . 3 |- ( w = B -> ( A \ w ) = ( A \ B ) )
87breq2d 4098 . 2 |- ( w = B -> ( om ~<_ ( A \ w ) <-> om ~<_ ( A \ B ) ) )
9 simplr 528 . . 3 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ A )
10 dif0 3563 . . 3 |- ( A \ (/) ) = A
119, 10breqtrrdi 4128 . 2 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ (/) ) )
12 difss 3331 . . . . . . 7 |- ( A \ u ) C_ A
13 ssralv 3289 . . . . . . . . 9 |- ( ( A \ u ) C_ A -> ( A. y e. A DECID x = y -> A. y e. ( A \ u )DECID x = y ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( A. y e. A DECID x = y -> A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
1514ralimi 2593 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> A. x e. A A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
16 ssralv 3289 . . . . . . 7 |- ( ( A \ u ) C_ A -> ( A. x e. A A. y e. ( A \ u )DECID x = y -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y ) )
1712, 15, 16mpsyl 65 . . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
1817ad5antr 496 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y )
19 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( A \ u ) )
20 simprl 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> B C_ A )
2120ad3antrrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> B C_ A )
22 simplrr 536 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> v e. ( B \ u ) )
23 ssdif 3340 . . . . . . 7 |- ( B C_ A -> ( B \ u ) C_ ( A \ u ) )
2423sseld 3224 . . . . . 6 |- ( B C_ A -> ( v e. ( B \ u ) -> v e. ( A \ u ) ) )
2521, 22, 24sylc 62 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> v e. ( A \ u ) )
26 difinfsn 7290 . . . . 5 |- ( ( A. x e. ( A \ u ) A. y e. ( A \ u )DECID x = y /\ om ~<_ ( A \ u ) /\ v e. ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( ( A \ u ) \ { v } ) )
2718, 19, 25, 26syl3anc 1271 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( ( A \ u ) \ { v } ) )
28 difun1 3465 . . . 4 |- ( A \ ( u u. { v } ) ) = ( ( A \ u ) \ { v } )
2927, 28breqtrrdi 4128 . . 3 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) /\ om ~<_ ( A \ u ) ) -> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) )
3029ex 115 . 2 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ B /\ v e. ( B \ u ) ) ) -> ( om ~<_ ( A \ u ) -> om ~<_ ( A \ ( u u. { v } ) ) ) )
31 simprr 531 . 2 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> B e. Fin )
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 7074 1 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) /\ ( B C_ A /\ B e. Fin ) ) -> om ~<_ ( A \ B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   \ cdif 3195   u. cun 3196   C_ wss 3198   (/)c0 3492   {csn 3667   class class class wbr 4086   omcom 4686   ~<_ cdom 6903   Fincfn 6904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-dju 7228  df-inl 7237  df-inr 7238  df-case 7274
This theorem is referenced by:  inffinp1  13040
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