Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  difinfinf Unicode version

Theorem difinfinf 6994
 Description: An infinite set minus a finite subset is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
difinfinf DECID
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem difinfinf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3193 . . 3
21breq2d 3949 . 2
3 difeq2 3193 . . 3
43breq2d 3949 . 2
5 difeq2 3193 . . 3
65breq2d 3949 . 2
7 difeq2 3193 . . 3
87breq2d 3949 . 2
9 simplr 520 . . 3 DECID
10 dif0 3438 . . 3
119, 10breqtrrdi 3978 . 2 DECID
12 difss 3207 . . . . . . 7
13 ssralv 3166 . . . . . . . . 9 DECID DECID
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 DECID DECID
1514ralimi 2498 . . . . . . 7 DECID DECID
16 ssralv 3166 . . . . . . 7 DECID DECID
1712, 15, 16mpsyl 65 . . . . . 6 DECID DECID
1817ad5antr 488 . . . . 5 DECID DECID
19 simpr 109 . . . . 5 DECID
20 simprl 521 . . . . . . 7 DECID
2120ad3antrrr 484 . . . . . 6 DECID
22 simplrr 526 . . . . . 6 DECID
23 ssdif 3216 . . . . . . 7
2423sseld 3101 . . . . . 6
2521, 22, 24sylc 62 . . . . 5 DECID
26 difinfsn 6993 . . . . 5 DECID
2718, 19, 25, 26syl3anc 1217 . . . 4 DECID
28 difun1 3341 . . . 4
2927, 28breqtrrdi 3978 . . 3 DECID
3029ex 114 . 2 DECID
31 simprr 522 . 2 DECID
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 6794 1 DECID
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103  DECID wdc 820   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417   cdif 3073   cun 3074   wss 3076  c0 3368  csn 3532   class class class wbr 3937  com 4512   cdom 6641  cfn 6642 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-1o 6321  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-dju 6931  df-inl 6940  df-inr 6941  df-case 6977 This theorem is referenced by:  inffinp1  11979
 Copyright terms: Public domain W3C validator