Theorem infidc 7238

Description: The intersection of two sets is finite if one of them is and the other is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infidc	|- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem infidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A e. Fin )
2		inss1 3451	. . 3 |- ( A i^i B ) C_ A
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) C_ A )
4		elin 3412	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
5	4	baibr 932	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. B <-> x e. ( A i^i B ) ) )
6	5	dcbid 850	. . . . . 6 |- ( x e. A -> (DECID x e. B <-> DECID x e. ( A i^i B ) ) )
7	6	biimpd 144	. . . . 5 |- ( x e. A -> (DECID x e. B -> DECID x e. ( A i^i B ) ) )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A ) -> (DECID x e. B -> DECID x e. ( A i^i B ) ) )
9	8	ralimdva 2617	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A DECID x e. B -> A. x e. A DECID x e. ( A i^i B ) ) )
10	9	imp 124	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A. x e. A DECID x e. ( A i^i B ) )
11		ssfidc 7235	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A /\ A. x e. A DECID x e. ( A i^i B ) ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
12	1, 3, 10, 11	syl3anc 1278	1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   e. wcel 2209   A.wral 2528   i^i cin 3219   C_ wss 3220   Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by:  4sqleminfi  13154  ballotfilemcinfi  13202  ballotfilemcinfz  13204