Theorem infidc 7132

Description: The intersection of two sets is finite if one of them is and the other is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infidc	|- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem infidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A e. Fin )
2		inss1 3427	. . 3 |- ( A i^i B ) C_ A
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) C_ A )
4		elin 3390	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
5	4	baibr 927	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. B <-> x e. ( A i^i B ) ) )
6	5	dcbid 845	. . . . . 6 |- ( x e. A -> (DECID x e. B <-> DECID x e. ( A i^i B ) ) )
7	6	biimpd 144	. . . . 5 |- ( x e. A -> (DECID x e. B -> DECID x e. ( A i^i B ) ) )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A ) -> (DECID x e. B -> DECID x e. ( A i^i B ) ) )
9	8	ralimdva 2599	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A DECID x e. B -> A. x e. A DECID x e. ( A i^i B ) ) )
10	9	imp 124	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A. x e. A DECID x e. ( A i^i B ) )
11		ssfidc 7129	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A /\ A. x e. A DECID x e. ( A i^i B ) ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
12	1, 3, 10, 11	syl3anc 1273	1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 841   e. wcel 2202   A.wral 2510   i^i cin 3199   C_ wss 3200   Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  4sqleminfi  12969