Theorem infidc 6968

Description: The intersection of two sets is finite if one of them is and the other is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infidc	|- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem infidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A e. Fin )
2		inss1 3370	. . 3 |- ( A i^i B ) C_ A
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) C_ A )
4		elin 3333	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
5	4	baibr 921	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. B <-> x e. ( A i^i B ) ) )
6	5	dcbid 839	. . . . . 6 |- ( x e. A -> (DECID x e. B <-> DECID x e. ( A i^i B ) ) )
7	6	biimpd 144	. . . . 5 |- ( x e. A -> (DECID x e. B -> DECID x e. ( A i^i B ) ) )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A ) -> (DECID x e. B -> DECID x e. ( A i^i B ) ) )
9	8	ralimdva 2557	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A DECID x e. B -> A. x e. A DECID x e. ( A i^i B ) ) )
10	9	imp 124	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A. x e. A DECID x e. ( A i^i B ) )
11		ssfidc 6967	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A /\ A. x e. A DECID x e. ( A i^i B ) ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
12	1, 3, 10, 11	syl3anc 1249	1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   e. wcel 2160   A.wral 2468   i^i cin 3143   C_ wss 3144   Fincfn 6770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-iord 4387  df-on 4389  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-1o 6445  df-er 6563  df-en 6771  df-fin 6773

This theorem is referenced by:  4sqleminfi  12440