Theorem infidc 7097

Description: The intersection of two sets is finite if one of them is and the other is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infidc	|- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem infidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A e. Fin )
2		inss1 3424	. . 3 |- ( A i^i B ) C_ A
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) C_ A )
4		elin 3387	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
5	4	baibr 925	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. B <-> x e. ( A i^i B ) ) )
6	5	dcbid 843	. . . . . 6 |- ( x e. A -> (DECID x e. B <-> DECID x e. ( A i^i B ) ) )
7	6	biimpd 144	. . . . 5 |- ( x e. A -> (DECID x e. B -> DECID x e. ( A i^i B ) ) )
8	7	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A ) -> (DECID x e. B -> DECID x e. ( A i^i B ) ) )
9	8	ralimdva 2597	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A DECID x e. B -> A. x e. A DECID x e. ( A i^i B ) ) )
10	9	imp 124	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A. x e. A DECID x e. ( A i^i B ) )
11		ssfidc 7095	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( A i^i B ) C_ A /\ A. x e. A DECID x e. ( A i^i B ) ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
12	1, 3, 10, 11	syl3anc 1271	1 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   e. wcel 2200   A.wral 2508   i^i cin 3196   C_ wss 3197   Fincfn 6885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888

This theorem is referenced by:  4sqleminfi  12915