Theorem infidc 7138

Description: The intersection of two sets is finite if one of them is and the other is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infidc	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2		inss1 3426	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
4		elin 3389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
5	4	baibr 927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
6	5	dcbid 845	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
7	6	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 → DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
8	7	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 → DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
9	8	ralimdva 2598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
10	9	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
11		ssfidc 7135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
12	1, 3, 10, 11	syl3anc 1273	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 841   ∈ wcel 2201  ∀wral 2509   ∩ cin 3198   ⊆ wss 3199  Fincfn 6914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-1o 6587  df-er 6707  df-en 6915  df-fin 6917

This theorem is referenced by:  4sqleminfi  12993