Theorem infidc 7214

Description: The intersection of two sets is finite if one of them is and the other is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infidc	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2		inss1 3445	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
4		elin 3406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
5	4	baibr 928	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
6	5	dcbid 846	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
7	6	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 → DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
8	7	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 → DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
9	8	ralimdva 2611	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
10	9	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
11		ssfidc 7211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
12	1, 3, 10, 11	syl3anc 1274	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ∩ cin 3213   ⊆ wss 3214  Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  4sqleminfi  13123  ballotfilemcinfi  13171  ballotfilemcinfz  13173