Theorem infidc 6995

Description: The intersection of two sets is finite if one of them is and the other is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infidc	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2		inss1 3380	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
4		elin 3343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
5	4	baibr 921	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
6	5	dcbid 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
7	6	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 → DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
8	7	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 → DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
9	8	ralimdva 2561	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
10	9	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
11		ssfidc 6993	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
12	1, 3, 10, 11	syl3anc 1249	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ∩ cin 3153   ⊆ wss 3154  Fincfn 6796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799

This theorem is referenced by:  4sqleminfi  12538