Theorem infidc 7069

Description: The intersection of two sets is finite if one of them is and the other is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
infidc	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2		inss1 3404	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
4		elin 3367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
5	4	baibr 924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
6	5	dcbid 842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
7	6	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 → DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
8	7	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (DECID 𝑥 ∈ 𝐵 → DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
9	8	ralimdva 2577	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)))
10	9	imp 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
11		ssfidc 7067	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
12	1, 3, 10, 11	syl3anc 1252	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 838   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488   ∩ cin 3176   ⊆ wss 3177  Fincfn 6857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-1o 6532  df-er 6650  df-en 6858  df-fin 6860

This theorem is referenced by:  4sqleminfi  12886