Theorem iocssre 9880

Description: A closed-above interval with real upper bound is a set of reals. (Contributed by FL, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iocssre	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )

Proof of Theorem iocssre

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioc2 9863	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A (,] B ) <-> ( x e. RR /\ A < x /\ x <_ B ) ) )
2	1	biimp3a 1334	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR /\ x e. ( A (,] B ) ) -> ( x e. RR /\ A < x /\ x <_ B ) )
3	2	simp1d 998	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR /\ x e. ( A (,] B ) ) -> x e. RR )
4	3	3expia 1194	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A (,] B ) -> x e. RR ) )
5	4	ssrdv 3143	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 967   e. wcel 2135   C_ wss 3111   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   RRcr 7743   RR*cxr 7923   < clt 7924   <_ cle 7925   (,]cioc 9816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-ioc 9820

This theorem is referenced by:  negpitopissre  13317