Theorem icossre 10150

Description: A closed-below interval with real lower bound is a set of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icossre	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( A [,) B ) C_ RR )

Proof of Theorem icossre

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elico2 10133	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
2	1	biimp3a 1379	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ x e. ( A [,) B ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) )
3	2	simp1d 1033	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ x e. ( A [,) B ) ) -> x e. RR )
4	3	3expia 1229	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A [,) B ) -> x e. RR ) )
5	4	ssrdv 3230	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( A [,) B ) C_ RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   C_ wss 3197   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   RR*cxr 8180   < clt 8181   <_ cle 8182   [,)cico 10086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-ico 10090

This theorem is referenced by:  icoshftf1o  10187  rexico  11732  fprodge1  12150