Theorem icossre 9520

Description: A closed-below interval with real lower bound is a set of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icossre	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( A [,) B ) C_ RR )

Proof of Theorem icossre

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elico2 9503	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A [,) B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) ) )
2	1	biimp3a 1288	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ x e. ( A [,) B ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x < B ) )
3	2	simp1d 958	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ x e. ( A [,) B ) ) -> x e. RR )
4	3	3expia 1148	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A [,) B ) -> x e. RR ) )
5	4	ssrdv 3045	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( A [,) B ) C_ RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 927   e. wcel 1445   C_ wss 3013   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   RRcr 7446   RR*cxr 7618   < clt 7619   <_ cle 7620   [,)cico 9456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-ico 9460

This theorem is referenced by:  icoshftf1o  9557  rexico  10785