Theorem ioocosf1o 15878

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ioocosf1o	|- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 (,) 1 )

Proof of Theorem ioocosf1o

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 12450	. . . . . 6 |- cos : CC --> CC
2		ffn 5528	. . . . . 6 |- ( cos : CC --> CC -> cos Fn CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- cos Fn CC
4		ioossre 10316	. . . . . 6 |- ( 0 (,) pi ) C_ RR
5		ax-resscn 8261	. . . . . 6 |- RR C_ CC
6	4, 5	sstri 3257	. . . . 5 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
7		fnssres 5491	. . . . 5 |- ( ( cos Fn CC /\ ( 0 (,) pi ) C_ CC ) -> ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) Fn ( 0 (,) pi ) )
8	3, 6, 7	mp2an 430	. . . 4 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) Fn ( 0 (,) pi )
9		fvres 5714	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( cos ` x ) )
10		cos0pilt1 15876	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )
11	9, 10	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )
12	11	rgen 2603	. . . 4 |- A. x e. ( 0 (,) pi ) ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 )
13		ffnfv 5857	. . . 4 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) Fn ( 0 (,) pi ) /\ A. x e. ( 0 (,) pi ) ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 ) ) )
14	8, 12, 13	mpbir2an 955	. . 3 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 )
15		fvres 5714	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) = ( cos ` y ) )
16	9, 15	eqeqan12d 2254	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 (,) pi ) /\ y e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> ( cos ` x ) = ( cos ` y ) ) )
17		ioossicc 10340	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
18	17	sseli 3244	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. ( 0 [,] pi ) )
19	17	sseli 3244	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> y e. ( 0 [,] pi ) )
20		cos11 15877	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,] pi ) /\ y e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( x = y <-> ( cos ` x ) = ( cos ` y ) ) )
21	20	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,] pi ) /\ y e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( cos ` x ) = ( cos ` y ) -> x = y ) )
22	18, 19, 21	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 (,) pi ) /\ y e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( cos ` x ) = ( cos ` y ) -> x = y ) )
23	16, 22	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 (,) pi ) /\ y e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) -> x = y ) )
24	23	rgen2 2636	. . 3 |- A. x e. ( 0 (,) pi ) A. y e. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) -> x = y )
25		dff13 5964	. . 3 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 ) /\ A. x e. ( 0 (,) pi ) A. y e. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) -> x = y ) ) )
26	14, 24, 25	mpbir2an 955	. 2 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-> ( -u 1 (,) 1 )
27		0red 8317	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 0 e. RR )
28		pire 15810	. . . . . . 7 |- pi e. RR
29	28	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> pi e. RR )
30		elioore 10293	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> x e. RR )
31		pipos 15812	. . . . . . 7 |- 0 < pi
32	31	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 0 < pi )
33		0re 8316	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
34		iccssre 10336	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
35	33, 28, 34	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
36	35, 5	sstri 3257	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
37	36	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
38		coscn 15794	. . . . . . 7 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
39	38	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
40	35	sseli 3244	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( 0 [,] pi ) -> z e. RR )
41	40	recoscld 12469	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 0 [,] pi ) -> ( cos ` z ) e. RR )
42	41	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( cos ` z ) e. RR )
43		cospi 15824	. . . . . . . 8 |- ( cos ` pi ) = -u 1
44		neg1rr 9389	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. RR
45	44	rexri 8373	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. RR*
46		1re 8315	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
47	46	rexri 8373	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR*
48		elioo2 10302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ -u 1 < x /\ x < 1 ) ) )
49	45, 47, 48	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ -u 1 < x /\ x < 1 ) )
50	49	simp2bi 1044	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u 1 < x )
51	43, 50	eqbrtrid 4160	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( cos ` pi ) < x )
52	49	simp3bi 1045	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> x < 1 )
53		cos0 12475	. . . . . . . 8 |- ( cos ` 0 ) = 1
54	52, 53	breqtrrdi 4167	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> x < ( cos ` 0 ) )
55	51, 54	jca 306	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( cos ` pi ) < x /\ x < ( cos ` 0 ) ) )
56		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> z e. ( 0 [,] pi ) )
57		simprl 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> w e. ( 0 [,] pi ) )
58		simprr 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> z < w )
59	56, 57, 58	cosordlem 15873	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> ( cos ` w ) < ( cos ` z ) )
60	27, 29, 30, 32, 37, 39, 42, 55, 59	ivthdec 15668	. . . . 5 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> E. y e. ( 0 (,) pi ) ( cos ` y ) = x )
61		eqcom 2240	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) = x )
62	15	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) = x <-> ( cos ` y ) = x ) )
63	61, 62	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> ( x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> ( cos ` y ) = x ) )
64	63	rexbiia 2565	. . . . 5 |- ( E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> E. y e. ( 0 (,) pi ) ( cos ` y ) = x )
65	60, 64	sylibr 134	. . . 4 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) )
66	65	rgen 2603	. . 3 |- A. x e. ( -u 1 (,) 1 ) E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y )
67		dffo3 5846	. . 3 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -onto-> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 ) /\ A. x e. ( -u 1 (,) 1 ) E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) ) )
68	14, 66, 67	mpbir2an 955	. 2 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -onto-> ( -u 1 (,) 1 )
69		df-f1o 5379	. 2 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-> ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -onto-> ( -u 1 (,) 1 ) ) )
70	26, 68, 69	mpbir2an 955	1 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 (,) 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   |` cres 4771   Fn wfn 5367   -->wf 5368   -1-1->wf1 5369   -onto->wfo 5370   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   RR*cxr 8349   < clt 8350   -ucneg 8488   (,)cioo 10269   [,]cicc 10272   cosccos 12390   picpi 12392   -cn->ccncf 15594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-pre-suploc 8290  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-pm 6915  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-ioo 10273  df-ioc 10274  df-ico 10275  df-icc 10276  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-sin 12395  df-cos 12396  df-pi 12398  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-cncf 15595  df-limced 15680  df-dvap 15681

This theorem is referenced by: (None)