Theorem ioocosf1o 15244

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ioocosf1o	|- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 (,) 1 )

Proof of Theorem ioocosf1o

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 11935	. . . . . 6 |- cos : CC --> CC
2		ffn 5419	. . . . . 6 |- ( cos : CC --> CC -> cos Fn CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- cos Fn CC
4		ioossre 10039	. . . . . 6 |- ( 0 (,) pi ) C_ RR
5		ax-resscn 7999	. . . . . 6 |- RR C_ CC
6	4, 5	sstri 3201	. . . . 5 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
7		fnssres 5383	. . . . 5 |- ( ( cos Fn CC /\ ( 0 (,) pi ) C_ CC ) -> ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) Fn ( 0 (,) pi ) )
8	3, 6, 7	mp2an 426	. . . 4 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) Fn ( 0 (,) pi )
9		fvres 5594	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( cos ` x ) )
10		cos0pilt1 15242	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )
11	9, 10	eqeltrd 2281	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )
12	11	rgen 2558	. . . 4 |- A. x e. ( 0 (,) pi ) ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 )
13		ffnfv 5732	. . . 4 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) Fn ( 0 (,) pi ) /\ A. x e. ( 0 (,) pi ) ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 ) ) )
14	8, 12, 13	mpbir2an 944	. . 3 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 )
15		fvres 5594	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) = ( cos ` y ) )
16	9, 15	eqeqan12d 2220	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 (,) pi ) /\ y e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> ( cos ` x ) = ( cos ` y ) ) )
17		ioossicc 10063	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
18	17	sseli 3188	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. ( 0 [,] pi ) )
19	17	sseli 3188	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> y e. ( 0 [,] pi ) )
20		cos11 15243	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,] pi ) /\ y e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( x = y <-> ( cos ` x ) = ( cos ` y ) ) )
21	20	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,] pi ) /\ y e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( cos ` x ) = ( cos ` y ) -> x = y ) )
22	18, 19, 21	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 (,) pi ) /\ y e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( cos ` x ) = ( cos ` y ) -> x = y ) )
23	16, 22	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 (,) pi ) /\ y e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) -> x = y ) )
24	23	rgen2 2591	. . 3 |- A. x e. ( 0 (,) pi ) A. y e. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) -> x = y )
25		dff13 5827	. . 3 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 ) /\ A. x e. ( 0 (,) pi ) A. y e. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) -> x = y ) ) )
26	14, 24, 25	mpbir2an 944	. 2 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-> ( -u 1 (,) 1 )
27		0red 8055	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 0 e. RR )
28		pire 15176	. . . . . . 7 |- pi e. RR
29	28	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> pi e. RR )
30		elioore 10016	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> x e. RR )
31		pipos 15178	. . . . . . 7 |- 0 < pi
32	31	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 0 < pi )
33		0re 8054	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
34		iccssre 10059	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
35	33, 28, 34	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
36	35, 5	sstri 3201	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
37	36	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
38		coscn 15160	. . . . . . 7 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
39	38	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
40	35	sseli 3188	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( 0 [,] pi ) -> z e. RR )
41	40	recoscld 11954	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 0 [,] pi ) -> ( cos ` z ) e. RR )
42	41	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( cos ` z ) e. RR )
43		cospi 15190	. . . . . . . 8 |- ( cos ` pi ) = -u 1
44		neg1rr 9124	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. RR
45	44	rexri 8112	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. RR*
46		1re 8053	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
47	46	rexri 8112	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR*
48		elioo2 10025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ -u 1 < x /\ x < 1 ) ) )
49	45, 47, 48	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ -u 1 < x /\ x < 1 ) )
50	49	simp2bi 1015	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u 1 < x )
51	43, 50	eqbrtrid 4078	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( cos ` pi ) < x )
52	49	simp3bi 1016	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> x < 1 )
53		cos0 11960	. . . . . . . 8 |- ( cos ` 0 ) = 1
54	52, 53	breqtrrdi 4085	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> x < ( cos ` 0 ) )
55	51, 54	jca 306	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( cos ` pi ) < x /\ x < ( cos ` 0 ) ) )
56		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> z e. ( 0 [,] pi ) )
57		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> w e. ( 0 [,] pi ) )
58		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> z < w )
59	56, 57, 58	cosordlem 15239	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> ( cos ` w ) < ( cos ` z ) )
60	27, 29, 30, 32, 37, 39, 42, 55, 59	ivthdec 15034	. . . . 5 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> E. y e. ( 0 (,) pi ) ( cos ` y ) = x )
61		eqcom 2206	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) = x )
62	15	eqeq1d 2213	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) = x <-> ( cos ` y ) = x ) )
63	61, 62	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> ( x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> ( cos ` y ) = x ) )
64	63	rexbiia 2520	. . . . 5 |- ( E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> E. y e. ( 0 (,) pi ) ( cos ` y ) = x )
65	60, 64	sylibr 134	. . . 4 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) )
66	65	rgen 2558	. . 3 |- A. x e. ( -u 1 (,) 1 ) E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y )
67		dffo3 5721	. . 3 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -onto-> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 ) /\ A. x e. ( -u 1 (,) 1 ) E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) ) )
68	14, 66, 67	mpbir2an 944	. 2 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -onto-> ( -u 1 (,) 1 )
69		df-f1o 5275	. 2 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-> ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -onto-> ( -u 1 (,) 1 ) ) )
70	26, 68, 69	mpbir2an 944	1 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 (,) 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   C_ wss 3165   class class class wbr 4043   |` cres 4675   Fn wfn 5263   -->wf 5264   -1-1->wf1 5265   -onto->wfo 5266   -1-1-onto->wf1o 5267   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   CCcc 7905   RRcr 7906   0cc0 7907   1c1 7908   RR*cxr 8088   < clt 8089   -ucneg 8226   (,)cioo 9992   [,]cicc 9995   cosccos 11875   picpi 11877   -cn->ccncf 14960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027  ax-pre-suploc 8028  ax-addf 8029  ax-mulf 8030

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-disj 4021  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-isom 5277  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-of 6148  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-irdg 6446  df-frec 6467  df-1o 6492  df-oadd 6496  df-er 6610  df-map 6727  df-pm 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6820  df-sup 7068  df-inf 7069  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-9 9084  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-xneg 9876  df-xadd 9877  df-ioo 9996  df-ioc 9997  df-ico 9998  df-icc 9999  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-fac 10852  df-bc 10874  df-ihash 10902  df-shft 11045  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-clim 11509  df-sumdc 11584  df-ef 11878  df-sin 11880  df-cos 11881  df-pi 11883  df-rest 12991  df-topgen 13010  df-psmet 14223  df-xmet 14224  df-met 14225  df-bl 14226  df-mopn 14227  df-top 14388  df-topon 14401  df-bases 14433  df-ntr 14486  df-cn 14578  df-cnp 14579  df-tx 14643  df-cncf 14961  df-limced 15046  df-dvap 15047

This theorem is referenced by: (None)