Theorem ioocosf1o 15577

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ioocosf1o	|- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 (,) 1 )

Proof of Theorem ioocosf1o

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 12265	. . . . . 6 |- cos : CC --> CC
2		ffn 5482	. . . . . 6 |- ( cos : CC --> CC -> cos Fn CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- cos Fn CC
4		ioossre 10169	. . . . . 6 |- ( 0 (,) pi ) C_ RR
5		ax-resscn 8123	. . . . . 6 |- RR C_ CC
6	4, 5	sstri 3236	. . . . 5 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
7		fnssres 5445	. . . . 5 |- ( ( cos Fn CC /\ ( 0 (,) pi ) C_ CC ) -> ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) Fn ( 0 (,) pi ) )
8	3, 6, 7	mp2an 426	. . . 4 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) Fn ( 0 (,) pi )
9		fvres 5663	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( cos ` x ) )
10		cos0pilt1 15575	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )
11	9, 10	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )
12	11	rgen 2585	. . . 4 |- A. x e. ( 0 (,) pi ) ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 )
13		ffnfv 5805	. . . 4 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) Fn ( 0 (,) pi ) /\ A. x e. ( 0 (,) pi ) ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 ) ) )
14	8, 12, 13	mpbir2an 950	. . 3 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 )
15		fvres 5663	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) = ( cos ` y ) )
16	9, 15	eqeqan12d 2247	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 (,) pi ) /\ y e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> ( cos ` x ) = ( cos ` y ) ) )
17		ioossicc 10193	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
18	17	sseli 3223	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. ( 0 [,] pi ) )
19	17	sseli 3223	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> y e. ( 0 [,] pi ) )
20		cos11 15576	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,] pi ) /\ y e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( x = y <-> ( cos ` x ) = ( cos ` y ) ) )
21	20	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,] pi ) /\ y e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( cos ` x ) = ( cos ` y ) -> x = y ) )
22	18, 19, 21	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 (,) pi ) /\ y e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( cos ` x ) = ( cos ` y ) -> x = y ) )
23	16, 22	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 (,) pi ) /\ y e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) -> x = y ) )
24	23	rgen2 2618	. . 3 |- A. x e. ( 0 (,) pi ) A. y e. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) -> x = y )
25		dff13 5908	. . 3 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 ) /\ A. x e. ( 0 (,) pi ) A. y e. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) -> x = y ) ) )
26	14, 24, 25	mpbir2an 950	. 2 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-> ( -u 1 (,) 1 )
27		0red 8179	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 0 e. RR )
28		pire 15509	. . . . . . 7 |- pi e. RR
29	28	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> pi e. RR )
30		elioore 10146	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> x e. RR )
31		pipos 15511	. . . . . . 7 |- 0 < pi
32	31	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 0 < pi )
33		0re 8178	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
34		iccssre 10189	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
35	33, 28, 34	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
36	35, 5	sstri 3236	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
37	36	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
38		coscn 15493	. . . . . . 7 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
39	38	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
40	35	sseli 3223	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( 0 [,] pi ) -> z e. RR )
41	40	recoscld 12284	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 0 [,] pi ) -> ( cos ` z ) e. RR )
42	41	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( cos ` z ) e. RR )
43		cospi 15523	. . . . . . . 8 |- ( cos ` pi ) = -u 1
44		neg1rr 9248	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. RR
45	44	rexri 8236	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. RR*
46		1re 8177	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
47	46	rexri 8236	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR*
48		elioo2 10155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ -u 1 < x /\ x < 1 ) ) )
49	45, 47, 48	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ -u 1 < x /\ x < 1 ) )
50	49	simp2bi 1039	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u 1 < x )
51	43, 50	eqbrtrid 4123	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( cos ` pi ) < x )
52	49	simp3bi 1040	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> x < 1 )
53		cos0 12290	. . . . . . . 8 |- ( cos ` 0 ) = 1
54	52, 53	breqtrrdi 4130	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> x < ( cos ` 0 ) )
55	51, 54	jca 306	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( cos ` pi ) < x /\ x < ( cos ` 0 ) ) )
56		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> z e. ( 0 [,] pi ) )
57		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> w e. ( 0 [,] pi ) )
58		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> z < w )
59	56, 57, 58	cosordlem 15572	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> ( cos ` w ) < ( cos ` z ) )
60	27, 29, 30, 32, 37, 39, 42, 55, 59	ivthdec 15367	. . . . 5 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> E. y e. ( 0 (,) pi ) ( cos ` y ) = x )
61		eqcom 2233	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) = x )
62	15	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) = x <-> ( cos ` y ) = x ) )
63	61, 62	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> ( x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> ( cos ` y ) = x ) )
64	63	rexbiia 2547	. . . . 5 |- ( E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> E. y e. ( 0 (,) pi ) ( cos ` y ) = x )
65	60, 64	sylibr 134	. . . 4 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) )
66	65	rgen 2585	. . 3 |- A. x e. ( -u 1 (,) 1 ) E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y )
67		dffo3 5794	. . 3 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -onto-> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 ) /\ A. x e. ( -u 1 (,) 1 ) E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) ) )
68	14, 66, 67	mpbir2an 950	. 2 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -onto-> ( -u 1 (,) 1 )
69		df-f1o 5333	. 2 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-> ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -onto-> ( -u 1 (,) 1 ) ) )
70	26, 68, 69	mpbir2an 950	1 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 (,) 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   |` cres 4727   Fn wfn 5321   -->wf 5322   -1-1->wf1 5323   -onto->wfo 5324   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   RR*cxr 8212   < clt 8213   -ucneg 8350   (,)cioo 10122   [,]cicc 10125   cosccos 12205   picpi 12207   -cn->ccncf 15293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151  ax-pre-suploc 8152  ax-addf 8153  ax-mulf 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-of 6234  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-map 6818  df-pm 6819  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-xneg 10006  df-xadd 10007  df-ioo 10126  df-ioc 10127  df-ico 10128  df-icc 10129  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-fac 10987  df-bc 11009  df-ihash 11037  df-shft 11375  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914  df-ef 12208  df-sin 12210  df-cos 12211  df-pi 12213  df-rest 13323  df-topgen 13342  df-psmet 14556  df-xmet 14557  df-met 14558  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-top 14721  df-topon 14734  df-bases 14766  df-ntr 14819  df-cn 14911  df-cnp 14912  df-tx 14976  df-cncf 15294  df-limced 15379  df-dvap 15380

This theorem is referenced by: (None)