Theorem ioocosf1o 15174

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ioocosf1o	|- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 (,) 1 )

Proof of Theorem ioocosf1o

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 11887	. . . . . 6 |- cos : CC --> CC
2		ffn 5410	. . . . . 6 |- ( cos : CC --> CC -> cos Fn CC )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- cos Fn CC
4		ioossre 10027	. . . . . 6 |- ( 0 (,) pi ) C_ RR
5		ax-resscn 7988	. . . . . 6 |- RR C_ CC
6	4, 5	sstri 3193	. . . . 5 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
7		fnssres 5374	. . . . 5 |- ( ( cos Fn CC /\ ( 0 (,) pi ) C_ CC ) -> ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) Fn ( 0 (,) pi ) )
8	3, 6, 7	mp2an 426	. . . 4 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) Fn ( 0 (,) pi )
9		fvres 5585	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( cos ` x ) )
10		cos0pilt1 15172	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )
11	9, 10	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )
12	11	rgen 2550	. . . 4 |- A. x e. ( 0 (,) pi ) ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 )
13		ffnfv 5723	. . . 4 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) Fn ( 0 (,) pi ) /\ A. x e. ( 0 (,) pi ) ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) e. ( -u 1 (,) 1 ) ) )
14	8, 12, 13	mpbir2an 944	. . 3 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 )
15		fvres 5585	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) = ( cos ` y ) )
16	9, 15	eqeqan12d 2212	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 (,) pi ) /\ y e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> ( cos ` x ) = ( cos ` y ) ) )
17		ioossicc 10051	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
18	17	sseli 3180	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. ( 0 [,] pi ) )
19	17	sseli 3180	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> y e. ( 0 [,] pi ) )
20		cos11 15173	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0 [,] pi ) /\ y e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( x = y <-> ( cos ` x ) = ( cos ` y ) ) )
21	20	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 0 [,] pi ) /\ y e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( cos ` x ) = ( cos ` y ) -> x = y ) )
22	18, 19, 21	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 0 (,) pi ) /\ y e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( cos ` x ) = ( cos ` y ) -> x = y ) )
23	16, 22	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 (,) pi ) /\ y e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) -> x = y ) )
24	23	rgen2 2583	. . 3 |- A. x e. ( 0 (,) pi ) A. y e. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) -> x = y )
25		dff13 5818	. . 3 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 ) /\ A. x e. ( 0 (,) pi ) A. y e. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` x ) = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) -> x = y ) ) )
26	14, 24, 25	mpbir2an 944	. 2 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-> ( -u 1 (,) 1 )
27		0red 8044	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 0 e. RR )
28		pire 15106	. . . . . . 7 |- pi e. RR
29	28	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> pi e. RR )
30		elioore 10004	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> x e. RR )
31		pipos 15108	. . . . . . 7 |- 0 < pi
32	31	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 0 < pi )
33		0re 8043	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
34		iccssre 10047	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
35	33, 28, 34	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
36	35, 5	sstri 3193	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
37	36	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
38		coscn 15090	. . . . . . 7 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
39	38	a1i 9	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
40	35	sseli 3180	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( 0 [,] pi ) -> z e. RR )
41	40	recoscld 11906	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 0 [,] pi ) -> ( cos ` z ) e. RR )
42	41	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( cos ` z ) e. RR )
43		cospi 15120	. . . . . . . 8 |- ( cos ` pi ) = -u 1
44		neg1rr 9113	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. RR
45	44	rexri 8101	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. RR*
46		1re 8042	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
47	46	rexri 8101	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR*
48		elioo2 10013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ -u 1 < x /\ x < 1 ) ) )
49	45, 47, 48	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( x e. RR /\ -u 1 < x /\ x < 1 ) )
50	49	simp2bi 1015	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u 1 < x )
51	43, 50	eqbrtrid 4069	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( cos ` pi ) < x )
52	49	simp3bi 1016	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> x < 1 )
53		cos0 11912	. . . . . . . 8 |- ( cos ` 0 ) = 1
54	52, 53	breqtrrdi 4076	. . . . . . 7 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> x < ( cos ` 0 ) )
55	51, 54	jca 306	. . . . . 6 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( cos ` pi ) < x /\ x < ( cos ` 0 ) ) )
56		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> z e. ( 0 [,] pi ) )
57		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> w e. ( 0 [,] pi ) )
58		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> z < w )
59	56, 57, 58	cosordlem 15169	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ z e. ( 0 [,] pi ) ) /\ ( w e. ( 0 [,] pi ) /\ z < w ) ) -> ( cos ` w ) < ( cos ` z ) )
60	27, 29, 30, 32, 37, 39, 42, 55, 59	ivthdec 14964	. . . . 5 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> E. y e. ( 0 (,) pi ) ( cos ` y ) = x )
61		eqcom 2198	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) = x )
62	15	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) = x <-> ( cos ` y ) = x ) )
63	61, 62	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( y e. ( 0 (,) pi ) -> ( x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> ( cos ` y ) = x ) )
64	63	rexbiia 2512	. . . . 5 |- ( E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) <-> E. y e. ( 0 (,) pi ) ( cos ` y ) = x )
65	60, 64	sylibr 134	. . . 4 |- ( x e. ( -u 1 (,) 1 ) -> E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) )
66	65	rgen 2550	. . 3 |- A. x e. ( -u 1 (,) 1 ) E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y )
67		dffo3 5712	. . 3 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -onto-> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) --> ( -u 1 (,) 1 ) /\ A. x e. ( -u 1 (,) 1 ) E. y e. ( 0 (,) pi ) x = ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) ` y ) ) )
68	14, 66, 67	mpbir2an 944	. 2 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -onto-> ( -u 1 (,) 1 )
69		df-f1o 5266	. 2 |- ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-> ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -onto-> ( -u 1 (,) 1 ) ) )
70	26, 68, 69	mpbir2an 944	1 |- ( cos |` ( 0 (,) pi ) ) : ( 0 (,) pi ) -1-1-onto-> ( -u 1 (,) 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   |` cres 4666   Fn wfn 5254   -->wf 5255   -1-1->wf1 5256   -onto->wfo 5257   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   RR*cxr 8077   < clt 8078   -ucneg 8215   (,)cioo 9980   [,]cicc 9983   cosccos 11827   picpi 11829   -cn->ccncf 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-pre-suploc 8017  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-pm 6719  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-ioo 9984  df-ioc 9985  df-ico 9986  df-icc 9987  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-bc 10857  df-ihash 10885  df-shft 10997  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830  df-sin 11832  df-cos 11833  df-pi 11835  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-ntr 14416  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-tx 14573  df-cncf 14891  df-limced 14976  df-dvap 14977

This theorem is referenced by: (None)