ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isotr GIF version

Theorem isotr 5717
Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isotr ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (𝐵, 𝐶)) → (𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (𝐴, 𝐶))

Proof of Theorem isotr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . 4 ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤))) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐶)
2 simpl 108 . . . 4 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
3 f1oco 5390 . . . 4 ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐶𝐻:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝐺𝐻):𝐴1-1-onto𝐶)
41, 2, 3syl2anr 288 . . 3 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → (𝐺𝐻):𝐴1-1-onto𝐶)
5 f1of 5367 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝐻:𝐴𝐵)
65ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝐻:𝐴𝐵)
7 simprl 520 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥𝐴)
86, 7ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐵)
9 simprr 521 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦𝐴)
106, 9ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝐻𝑦) ∈ 𝐵)
11 simplrr 525 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))
12 breq1 3932 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝐻𝑥) → (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑥)𝑆𝑤))
13 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐻𝑥) → (𝐺𝑧) = (𝐺‘(𝐻𝑥)))
1413breq1d 3939 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝐻𝑥) → ((𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺𝑤)))
1512, 14bibi12d 234 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐻𝑥) → ((𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)) ↔ ((𝐻𝑥)𝑆𝑤 ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺𝑤))))
16 breq2 3933 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐻𝑦) → ((𝐻𝑥)𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)))
17 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐻𝑦) → (𝐺𝑤) = (𝐺‘(𝐻𝑦)))
1817breq2d 3941 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐻𝑦) → ((𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺𝑤) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦))))
1916, 18bibi12d 234 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝐻𝑦) → (((𝐻𝑥)𝑆𝑤 ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺𝑤)) ↔ ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦)))))
2015, 19rspc2va 2803 . . . . . . . . . 10 ((((𝐻𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻𝑦) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤))) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦))))
218, 10, 11, 20syl21anc 1215 . . . . . . . . 9 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦))))
22 fvco3 5492 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ((𝐺𝐻)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐻𝑥)))
236, 7, 22syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐺𝐻)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐻𝑥)))
24 fvco3 5492 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻:𝐴𝐵𝑦𝐴) → ((𝐺𝐻)‘𝑦) = (𝐺‘(𝐻𝑦)))
256, 9, 24syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐺𝐻)‘𝑦) = (𝐺‘(𝐻𝑦)))
2623, 25breq12d 3942 . . . . . . . . 9 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦) ↔ (𝐺‘(𝐻𝑥))𝑇(𝐺‘(𝐻𝑦))))
2721, 26bitr4d 190 . . . . . . . 8 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦)))
2827bibi2d 231 . . . . . . 7 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
29282ralbidva 2457 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
3029biimpd 143 . . . . 5 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
3130impancom 258 . . . 4 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤))) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
3231imp 123 . . 3 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦)))
334, 32jca 304 . 2 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))) → ((𝐺𝐻):𝐴1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
34 df-isom 5132 . . 3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
35 df-isom 5132 . . 3 (𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (𝐵, 𝐶) ↔ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤))))
3634, 35anbi12i 455 . 2 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (𝐵, 𝐶)) ↔ ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐺𝑧)𝑇(𝐺𝑤)))))
37 df-isom 5132 . 2 ((𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (𝐴, 𝐶) ↔ ((𝐺𝐻):𝐴1-1-onto𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ ((𝐺𝐻)‘𝑥)𝑇((𝐺𝐻)‘𝑦))))
3833, 36, 373imtr4i 200 1 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑆, 𝑇 (𝐵, 𝐶)) → (𝐺𝐻) Isom 𝑅, 𝑇 (𝐴, 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416   class class class wbr 3929  ccom 4543  wf 5119  1-1-ontowf1o 5122  cfv 5123   Isom wiso 5124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator