ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixxssxr GIF version

Theorem ixxssxr 9810
Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ixxssxr.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
ixxssxr (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑂,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ixxssxr
StepHypRef Expression
1 ixxssxr.1 . . . 4 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
21elmpocl 6020 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
31ixxf 9808 . . . . . 6 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
43fovcl 5928 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) ∈ 𝒫 ℝ*)
54elpwid 3555 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
65sseld 3127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*))
72, 6mpcom 36 . 2 (𝑥 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87ssriv 3132 1 (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  {crab 2439  wss 3102  𝒫 cpw 3544   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826  cmpo 5828  *cxr 7913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918
This theorem is referenced by:  iccssxr  9866  iocssxr  9867  icossxr  9868
  Copyright terms: Public domain W3C validator