Theorem ixxssxr 9570

Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixxssxr.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})

Assertion

Ref	Expression
ixxssxr	⊢ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑂,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ixxssxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixxssxr.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
2	1	elmpocl 5920	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
3	1	ixxf 9568	. . . . . 6 ⊢ 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
4	3	fovcl 5828	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) ∈ 𝒫 ℝ*)
5	4	elpwid 3485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
6	5	sseld 3060	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*))
7	2, 6	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	7	ssriv 3065	1 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  {crab 2392   ⊆ wss 3035  𝒫 cpw 3474   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726   ∈ cmpo 5728  ℝ^*cxr 7717

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722

This theorem is referenced by:  iccssxr  9626  iocssxr  9627  icossxr  9628