Theorem ixxssxr 10135

Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixxssxr.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})

Assertion

Ref	Expression
ixxssxr	⊢ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑂,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ixxssxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixxssxr.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
2	1	elmpocl 6217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
3	1	ixxf 10133	. . . . . 6 ⊢ 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
4	3	fovcl 6127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) ∈ 𝒫 ℝ*)
5	4	elpwid 3663	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
6	5	sseld 3226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*))
7	2, 6	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	7	ssriv 3231	1 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   ∈ cmpo 6020  ℝ^*cxr 8213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218

This theorem is referenced by:  iccssxr  10191  iocssxr  10192  icossxr  10193