Theorem lfgrnloopen 15983

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	|- I = (iEdg ` G )
lfuhgrnloopv.a	|- A = dom I
lfuhgrnloopv.e	|- E = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloopen	|- ( I : A --> E -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )

Distinct variable groups:   x, A   x, I   x, V

Allowed substitution hints:   E( x)   G( x)

Proof of Theorem lfgrnloopen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2374	. . . 4 |- F/_ x I
2		nfcv 2374	. . . 4 |- F/_ x A
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 |- E = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
4		nfrab1 2713	. . . . 5 |- F/_ x { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
5	3, 4	nfcxfr 2371	. . . 4 |- F/_ x E
6	1, 2, 5	nff 5479	. . 3 |- F/ x I : A --> E
7		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
8		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 |- A = dom I
9	7, 8, 3	lfgredg2dom 15982	. . . . 5 |- ( ( I : A --> E /\ x e. A ) -> 2o ~<_ ( I ` x ) )
10		1ndom2 7050	. . . . . 6 |- -. 2o ~<_ 1o
11		domentr 6964	. . . . . . 7 |- ( ( 2o ~<_ ( I ` x ) /\ ( I ` x ) ~~ 1o ) -> 2o ~<_ 1o )
12	11	ex 115	. . . . . 6 |- ( 2o ~<_ ( I ` x ) -> ( ( I ` x ) ~~ 1o -> 2o ~<_ 1o ) )
13	10, 12	mtoi 670	. . . . 5 |- ( 2o ~<_ ( I ` x ) -> -. ( I ` x ) ~~ 1o )
14	9, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( I : A --> E /\ x e. A ) -> -. ( I ` x ) ~~ 1o )
15	14	ex 115	. . 3 |- ( I : A --> E -> ( x e. A -> -. ( I ` x ) ~~ 1o ) )
16	6, 15	ralrimi 2603	. 2 |- ( I : A --> E -> A. x e. A -. ( I ` x ) ~~ 1o )
17		rabeq0 3524	. 2 |- ( { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) <-> A. x e. A -. ( I ` x ) ~~ 1o )
18	16, 17	sylibr 134	1 |- ( I : A --> E -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   (/)c0 3494   ~Pcpw 3652   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   -->wf 5322   ` cfv 5326   1oc1o 6574   2oc2o 6575   ~~ cen 6906   ~<_ cdom 6907  iEdgciedg 15863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910

This theorem is referenced by:  vtxdumgrfival  16148