Theorem lfgrnloopen 16254

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	|- I = (iEdg ` G )
lfuhgrnloopv.a	|- A = dom I
lfuhgrnloopv.e	|- E = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloopen	|- ( I : A --> E -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )

Distinct variable groups:   x, A   x, I   x, V

Allowed substitution hints:   E( x)   G( x)

Proof of Theorem lfgrnloopen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2386	. . . 4 |- F/_ x I
2		nfcv 2386	. . . 4 |- F/_ x A
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 |- E = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
4		nfrab1 2726	. . . . 5 |- F/_ x { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
5	3, 4	nfcxfr 2383	. . . 4 |- F/_ x E
6	1, 2, 5	nff 5510	. . 3 |- F/ x I : A --> E
7		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
8		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 |- A = dom I
9	7, 8, 3	lfgredg2dom 16253	. . . . 5 |- ( ( I : A --> E /\ x e. A ) -> 2o ~<_ ( I ` x ) )
10		1ndom2 7132	. . . . . 6 |- -. 2o ~<_ 1o
11		domentr 7044	. . . . . . 7 |- ( ( 2o ~<_ ( I ` x ) /\ ( I ` x ) ~~ 1o ) -> 2o ~<_ 1o )
12	11	ex 115	. . . . . 6 |- ( 2o ~<_ ( I ` x ) -> ( ( I ` x ) ~~ 1o -> 2o ~<_ 1o ) )
13	10, 12	mtoi 670	. . . . 5 |- ( 2o ~<_ ( I ` x ) -> -. ( I ` x ) ~~ 1o )
14	9, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( I : A --> E /\ x e. A ) -> -. ( I ` x ) ~~ 1o )
15	14	ex 115	. . 3 |- ( I : A --> E -> ( x e. A -> -. ( I ` x ) ~~ 1o ) )
16	6, 15	ralrimi 2615	. 2 |- ( I : A --> E -> A. x e. A -. ( I ` x ) ~~ 1o )
17		rabeq0 3542	. 2 |- ( { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) <-> A. x e. A -. ( I ` x ) ~~ 1o )
18	16, 17	sylibr 134	1 |- ( I : A --> E -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   (/)c0 3512   ~Pcpw 3674   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   -->wf 5353   ` cfv 5357   1oc1o 6653   2oc2o 6654   ~~ cen 6986   ~<_ cdom 6987  iEdgciedg 16134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990

This theorem is referenced by:  vtxdumgrfival  16419