Theorem lfgrnloopen 16288

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	|- I = (iEdg ` G )
lfuhgrnloopv.a	|- A = dom I
lfuhgrnloopv.e	|- E = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloopen	|- ( I : A --> E -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )

Distinct variable groups:   x, A   x, I   x, V

Allowed substitution hints:   E( x)   G( x)

Proof of Theorem lfgrnloopen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. . . 4 |- F/_ x I
2		nfcv 2392	. . . 4 |- F/_ x A
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 |- E = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
4		nfrab1 2732	. . . . 5 |- F/_ x { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
5	3, 4	nfcxfr 2389	. . . 4 |- F/_ x E
6	1, 2, 5	nff 5525	. . 3 |- F/ x I : A --> E
7		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
8		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 |- A = dom I
9	7, 8, 3	lfgredg2dom 16287	. . . . 5 |- ( ( I : A --> E /\ x e. A ) -> 2o ~<_ ( I ` x ) )
10		1ndom2 7156	. . . . . 6 |- -. 2o ~<_ 1o
11		domentr 7068	. . . . . . 7 |- ( ( 2o ~<_ ( I ` x ) /\ ( I ` x ) ~~ 1o ) -> 2o ~<_ 1o )
12	11	ex 115	. . . . . 6 |- ( 2o ~<_ ( I ` x ) -> ( ( I ` x ) ~~ 1o -> 2o ~<_ 1o ) )
13	10, 12	mtoi 674	. . . . 5 |- ( 2o ~<_ ( I ` x ) -> -. ( I ` x ) ~~ 1o )
14	9, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( I : A --> E /\ x e. A ) -> -. ( I ` x ) ~~ 1o )
15	14	ex 115	. . 3 |- ( I : A --> E -> ( x e. A -> -. ( I ` x ) ~~ 1o ) )
16	6, 15	ralrimi 2621	. 2 |- ( I : A --> E -> A. x e. A -. ( I ` x ) ~~ 1o )
17		rabeq0 3552	. 2 |- ( { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) <-> A. x e. A -. ( I ` x ) ~~ 1o )
18	16, 17	sylibr 134	1 |- ( I : A --> E -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   (/)c0 3520   ~Pcpw 3685   class class class wbr 4125   dom cdm 4769   -->wf 5368   ` cfv 5372   1oc1o 6670   2oc2o 6671   ~~ cen 7010   ~<_ cdom 7011  iEdgciedg 16168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014

This theorem is referenced by:  vtxdumgrfival  16453