Theorem lfgrnloopen 15972

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	|- I = (iEdg ` G )
lfuhgrnloopv.a	|- A = dom I
lfuhgrnloopv.e	|- E = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloopen	|- ( I : A --> E -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )

Distinct variable groups:   x, A   x, I   x, V

Allowed substitution hints:   E( x)   G( x)

Proof of Theorem lfgrnloopen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. . . 4 |- F/_ x I
2		nfcv 2372	. . . 4 |- F/_ x A
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 |- E = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
4		nfrab1 2711	. . . . 5 |- F/_ x { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
5	3, 4	nfcxfr 2369	. . . 4 |- F/_ x E
6	1, 2, 5	nff 5476	. . 3 |- F/ x I : A --> E
7		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
8		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 |- A = dom I
9	7, 8, 3	lfgredg2dom 15971	. . . . 5 |- ( ( I : A --> E /\ x e. A ) -> 2o ~<_ ( I ` x ) )
10		1ndom2 7046	. . . . . 6 |- -. 2o ~<_ 1o
11		domentr 6960	. . . . . . 7 |- ( ( 2o ~<_ ( I ` x ) /\ ( I ` x ) ~~ 1o ) -> 2o ~<_ 1o )
12	11	ex 115	. . . . . 6 |- ( 2o ~<_ ( I ` x ) -> ( ( I ` x ) ~~ 1o -> 2o ~<_ 1o ) )
13	10, 12	mtoi 668	. . . . 5 |- ( 2o ~<_ ( I ` x ) -> -. ( I ` x ) ~~ 1o )
14	9, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( I : A --> E /\ x e. A ) -> -. ( I ` x ) ~~ 1o )
15	14	ex 115	. . 3 |- ( I : A --> E -> ( x e. A -> -. ( I ` x ) ~~ 1o ) )
16	6, 15	ralrimi 2601	. 2 |- ( I : A --> E -> A. x e. A -. ( I ` x ) ~~ 1o )
17		rabeq0 3522	. 2 |- ( { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) <-> A. x e. A -. ( I ` x ) ~~ 1o )
18	16, 17	sylibr 134	1 |- ( I : A --> E -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   (/)c0 3492   ~Pcpw 3650   class class class wbr 4086   dom cdm 4723   -->wf 5320   ` cfv 5324   1oc1o 6570   2oc2o 6571   ~~ cen 6902   ~<_ cdom 6903  iEdgciedg 15854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906

This theorem is referenced by:  vtxdumgrfival  16104