Theorem lfgrnloopen 16128

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	|- I = (iEdg ` G )
lfuhgrnloopv.a	|- A = dom I
lfuhgrnloopv.e	|- E = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloopen	|- ( I : A --> E -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )

Distinct variable groups:   x, A   x, I   x, V

Allowed substitution hints:   E( x)   G( x)

Proof of Theorem lfgrnloopen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2384	. . . 4 |- F/_ x I
2		nfcv 2384	. . . 4 |- F/_ x A
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 |- E = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
4		nfrab1 2724	. . . . 5 |- F/_ x { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
5	3, 4	nfcxfr 2381	. . . 4 |- F/_ x E
6	1, 2, 5	nff 5505	. . 3 |- F/ x I : A --> E
7		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
8		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 |- A = dom I
9	7, 8, 3	lfgredg2dom 16127	. . . . 5 |- ( ( I : A --> E /\ x e. A ) -> 2o ~<_ ( I ` x ) )
10		1ndom2 7119	. . . . . 6 |- -. 2o ~<_ 1o
11		domentr 7031	. . . . . . 7 |- ( ( 2o ~<_ ( I ` x ) /\ ( I ` x ) ~~ 1o ) -> 2o ~<_ 1o )
12	11	ex 115	. . . . . 6 |- ( 2o ~<_ ( I ` x ) -> ( ( I ` x ) ~~ 1o -> 2o ~<_ 1o ) )
13	10, 12	mtoi 670	. . . . 5 |- ( 2o ~<_ ( I ` x ) -> -. ( I ` x ) ~~ 1o )
14	9, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ( I : A --> E /\ x e. A ) -> -. ( I ` x ) ~~ 1o )
15	14	ex 115	. . 3 |- ( I : A --> E -> ( x e. A -> -. ( I ` x ) ~~ 1o ) )
16	6, 15	ralrimi 2613	. 2 |- ( I : A --> E -> A. x e. A -. ( I ` x ) ~~ 1o )
17		rabeq0 3538	. 2 |- ( { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) <-> A. x e. A -. ( I ` x ) ~~ 1o )
18	16, 17	sylibr 134	1 |- ( I : A --> E -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   (/)c0 3508   ~Pcpw 3669   class class class wbr 4109   dom cdm 4749   -->wf 5348   ` cfv 5352   1oc1o 6640   2oc2o 6641   ~~ cen 6973   ~<_ cdom 6974  iEdgciedg 16008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977

This theorem is referenced by:  vtxdumgrfival  16293