Theorem lfgrnloopen 16374

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloopen	⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloopen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐼
2		nfcv 2392	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
4		nfrab1 2732	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
5	3, 4	nfcxfr 2389	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐸
6	1, 2, 5	nff 5530	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐼:𝐴⟶𝐸
7		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
9	7, 8, 3	lfgredg2dom 16373	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 2o ≼ (𝐼‘𝑥))
10		1ndom2 7166	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2o ≼ 1o
11		domentr 7078	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ≼ (𝐼‘𝑥) ∧ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o) → 2o ≼ 1o)
12	11	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (2o ≼ (𝐼‘𝑥) → ((𝐼‘𝑥) ≈ 1o → 2o ≼ 1o))
13	10, 12	mtoi 674	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ (𝐼‘𝑥) → ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
14	9, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
15	14	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o))
16	6, 15	ralrimi 2621	. 2 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
17		rabeq0 3552	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
18	16, 17	sylibr 134	1 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  1_oc1o 6680  2_oc2o 6681   ≈ cen 7020   ≼ cdom 7021  iEdgciedg 16254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024

This theorem is used by:  vtxdumgrfival  16539