Theorem lfgrnloopen 16128

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloopen	⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloopen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2384	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐼
2		nfcv 2384	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
4		nfrab1 2724	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
5	3, 4	nfcxfr 2381	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐸
6	1, 2, 5	nff 5505	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐼:𝐴⟶𝐸
7		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
9	7, 8, 3	lfgredg2dom 16127	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 2o ≼ (𝐼‘𝑥))
10		1ndom2 7119	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2o ≼ 1o
11		domentr 7031	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ≼ (𝐼‘𝑥) ∧ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o) → 2o ≼ 1o)
12	11	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (2o ≼ (𝐼‘𝑥) → ((𝐼‘𝑥) ≈ 1o → 2o ≼ 1o))
13	10, 12	mtoi 670	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ (𝐼‘𝑥) → ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
14	9, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
15	14	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o))
16	6, 15	ralrimi 2613	. 2 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
17		rabeq0 3538	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
18	16, 17	sylibr 134	1 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  {crab 2524  ∅c0 3508  𝒫 cpw 3669   class class class wbr 4109  dom cdm 4749  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  1_oc1o 6640  2_oc2o 6641   ≈ cen 6973   ≼ cdom 6974  iEdgciedg 16008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977

This theorem is referenced by:  vtxdumgrfival  16293