Theorem lfgrnloopen 15983

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloopen	⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloopen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2374	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐼
2		nfcv 2374	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
4		nfrab1 2713	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
5	3, 4	nfcxfr 2371	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐸
6	1, 2, 5	nff 5479	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐼:𝐴⟶𝐸
7		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
9	7, 8, 3	lfgredg2dom 15982	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 2o ≼ (𝐼‘𝑥))
10		1ndom2 7050	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2o ≼ 1o
11		domentr 6964	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ≼ (𝐼‘𝑥) ∧ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o) → 2o ≼ 1o)
12	11	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (2o ≼ (𝐼‘𝑥) → ((𝐼‘𝑥) ≈ 1o → 2o ≼ 1o))
13	10, 12	mtoi 670	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ (𝐼‘𝑥) → ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
14	9, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
15	14	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o))
16	6, 15	ralrimi 2603	. 2 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
17		rabeq0 3524	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
18	16, 17	sylibr 134	1 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  {crab 2514  ∅c0 3494  𝒫 cpw 3652   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  1_oc1o 6574  2_oc2o 6575   ≈ cen 6906   ≼ cdom 6907  iEdgciedg 15863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910

This theorem is referenced by:  vtxdumgrfival  16148