Theorem lfgrnloopen 15972

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloopen	⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloopen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐼
2		nfcv 2372	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
4		nfrab1 2711	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2o ≼ 𝑥}
5	3, 4	nfcxfr 2369	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐸
6	1, 2, 5	nff 5476	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐼:𝐴⟶𝐸
7		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
9	7, 8, 3	lfgredg2dom 15971	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 2o ≼ (𝐼‘𝑥))
10		1ndom2 7046	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2o ≼ 1o
11		domentr 6960	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ≼ (𝐼‘𝑥) ∧ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o) → 2o ≼ 1o)
12	11	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (2o ≼ (𝐼‘𝑥) → ((𝐼‘𝑥) ≈ 1o → 2o ≼ 1o))
13	10, 12	mtoi 668	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ (𝐼‘𝑥) → ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
14	9, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
15	14	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o))
16	6, 15	ralrimi 2601	. 2 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
17		rabeq0 3522	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o)
18	16, 17	sylibr 134	1 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) ≈ 1o} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {crab 2512  ∅c0 3492  𝒫 cpw 3650   class class class wbr 4086  dom cdm 4723  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  1_oc1o 6570  2_oc2o 6571   ≈ cen 6902   ≼ cdom 6903  iEdgciedg 15854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906

This theorem is referenced by:  vtxdumgrfival  16104