Theorem 1ndom2 7132

Description: Two is not dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
1ndom2	|- -. 2o ~<_ 1o

Proof of Theorem 1ndom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6766	. . . 4 |- 1o e. om
2		nnord 4739	. . . 4 |- ( 1o e. om -> Ord 1o )
3		ordirr 4669	. . . 4 |- ( Ord 1o -> -. 1o e. 1o )
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . 3 |- -. 1o e. 1o
5		1lt2o 6688	. . . 4 |- 1o e. 2o
6		ssel 3236	. . . 4 |- ( 2o C_ 1o -> ( 1o e. 2o -> 1o e. 1o ) )
7	5, 6	mpi 15	. . 3 |- ( 2o C_ 1o -> 1o e. 1o )
8	4, 7	mto 668	. 2 |- -. 2o C_ 1o
9		2onn 6767	. . 3 |- 2o e. om
10		nndomo 7131	. . 3 |- ( ( 2o e. om /\ 1o e. om ) -> ( 2o ~<_ 1o <-> 2o C_ 1o ) )
11	9, 1, 10	mp2an 426	. 2 |- ( 2o ~<_ 1o <-> 2o C_ 1o )
12	8, 11	mtbir 678	1 |- -. 2o ~<_ 1o

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   e. wcel 2205   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   Ord word 4488   omcom 4717   1oc1o 6653   2oc2o 6654   ~<_ cdom 6987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990

This theorem is referenced by:  umgrislfupgrenlem  16251  lfgrnloopen  16254