Theorem vtxdumgrfival 16419

Description: The value of the vertex degree function for a finite multigraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfgrval.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdlfgrval.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxdlfgrval.a	|- A = dom I
vtxdlfgrval.d	|- D = (VtxDeg ` G )
vtxdumgrfival.g	|- ( ph -> G e. UMGraph )
vtxdumgrfival.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxdumgrfival.a	|- ( ph -> A e. Fin )
vtxdumgrfival.v	|- ( ph -> V e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
vtxdumgrfival	|- ( ph -> ( D ` U ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, G   x, I   x, U   x, V

Allowed substitution hints:   ph( x)   D( x)

Proof of Theorem vtxdumgrfival

Dummy variables y u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdlfgrval.d	. . . 4 |- D = (VtxDeg ` G )
2	1	fveq1i 5676	. . 3 |- ( D ` U ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U )
3		vtxdlfgrval.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
4		vtxdlfgrval.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
5		vtxdlfgrval.a	. . . 4 |- A = dom I
6		vtxdumgrfival.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		vtxdumgrfival.v	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
8		vtxdumgrfival.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
9		vtxdumgrfival.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. UMGraph )
10		umgrupgr 16233	. . . . 5 |- ( G e. UMGraph -> G e. UPGraph )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. UPGraph )
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxdgfifival 16412	. . 3 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
13	2, 12	eqtrid 2279	. 2 |- ( ph -> ( D ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
14		fveqeq2 5684	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) = { U } <-> ( I ` y ) = { U } ) )
15	14	cbvrabv 2814	. . . . . 6 |- { x e. A | ( I ` x ) = { U } } = { y e. A | ( I ` y ) = { U } }
16		sneq 3705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = U -> { u } = { U } )
17	16	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = U -> ( ( I ` y ) = { u } <-> ( I ` y ) = { U } ) )
18	17	spcegv 2907	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. V -> ( ( I ` y ) = { U } -> E. u ( I ` y ) = { u } ) )
19	8, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( I ` y ) = { U } -> E. u ( I ` y ) = { u } ) )
20		en1 7052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` y ) ~~ 1o <-> E. u ( I ` y ) = { u } )
21	19, 20	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
22	21	ralrimivw 2618	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. y e. A ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
23		ss2rab 3318	. . . . . . . . 9 |- ( { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } <-> A. y e. A ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } )
25		fveq2 5675	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( I ` x ) = ( I ` y ) )
26	25	breq1d 4124	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) ~~ 1o <-> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
27	26	cbvrabv 2814	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o }
28	3, 4	umgrislfupgrdom 16252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. UMGraph <-> ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
29	9, 28	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
31	5	feq2i 5507	. . . . . . . . . . 11 |- ( I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } <-> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
32	30, 31	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
33		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. ~P V | 2o ~<_ x } = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
34	4, 5, 33	lfgrnloopen 16254	. . . . . . . . . 10 |- ( I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )
36	27, 35	eqtr3id 2281	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } = (/) )
37	24, 36	sseqtrd 3280	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ (/) )
38		ss0 3553	. . . . . . 7 |- ( { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ (/) -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } = (/) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } = (/) )
40	15, 39	eqtrid 2279	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) = { U } } = (/) )
41	40	fveq2d 5679	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) = (♯ ` (/) ) )
42		hash0 11184	. . . 4 |- (♯ ` (/) ) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2283	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) = 0 )
44	43	oveq2d 6074	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + 0 ) )
45	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxedgfi 16410	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin )
46		hashcl 11169	. . . . 5 |- ( { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
47	45, 46	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
48	47	nn0cnd 9572	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. CC )
49	48	addridd 8438	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + 0 ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )
50	13, 44, 49	3eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( D ` U ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   C_ wss 3214   (/)c0 3512   ~Pcpw 3674   {csn 3694   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1oc1o 6653   2oc2o 6654   ~~ cen 6986   ~<_ cdom 6987   Fincfn 6988   0cc0 8143   + caddc 8146   NN0cn0 9513  ♯chash 11163  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  UPGraphcupgr 16212  UMGraphcumgr 16213  VtxDegcvtxdg 16407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-xadd 10125  df-fz 10362  df-ihash 11164  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-upgren 16214  df-umgren 16215  df-vtxdg 16408

This theorem is referenced by:  vtxdusgrfvedgfi  16423  1hevtxdg1en  16429