Theorem vtxdumgrfival 16222

Description: The value of the vertex degree function for a finite multigraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfgrval.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdlfgrval.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxdlfgrval.a	|- A = dom I
vtxdlfgrval.d	|- D = (VtxDeg ` G )
vtxdumgrfival.g	|- ( ph -> G e. UMGraph )
vtxdumgrfival.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxdumgrfival.a	|- ( ph -> A e. Fin )
vtxdumgrfival.v	|- ( ph -> V e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
vtxdumgrfival	|- ( ph -> ( D ` U ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, G   x, I   x, U   x, V

Allowed substitution hints:   ph( x)   D( x)

Proof of Theorem vtxdumgrfival

Dummy variables y u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdlfgrval.d	. . . 4 |- D = (VtxDeg ` G )
2	1	fveq1i 5649	. . 3 |- ( D ` U ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U )
3		vtxdlfgrval.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
4		vtxdlfgrval.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
5		vtxdlfgrval.a	. . . 4 |- A = dom I
6		vtxdumgrfival.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		vtxdumgrfival.v	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
8		vtxdumgrfival.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
9		vtxdumgrfival.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. UMGraph )
10		umgrupgr 16036	. . . . 5 |- ( G e. UMGraph -> G e. UPGraph )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. UPGraph )
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxdgfifival 16215	. . 3 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
13	2, 12	eqtrid 2276	. 2 |- ( ph -> ( D ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
14		fveqeq2 5657	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) = { U } <-> ( I ` y ) = { U } ) )
15	14	cbvrabv 2802	. . . . . 6 |- { x e. A | ( I ` x ) = { U } } = { y e. A | ( I ` y ) = { U } }
16		sneq 3684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = U -> { u } = { U } )
17	16	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = U -> ( ( I ` y ) = { u } <-> ( I ` y ) = { U } ) )
18	17	spcegv 2895	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. V -> ( ( I ` y ) = { U } -> E. u ( I ` y ) = { u } ) )
19	8, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( I ` y ) = { U } -> E. u ( I ` y ) = { u } ) )
20		en1 7016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` y ) ~~ 1o <-> E. u ( I ` y ) = { u } )
21	19, 20	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
22	21	ralrimivw 2607	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. y e. A ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
23		ss2rab 3304	. . . . . . . . 9 |- ( { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } <-> A. y e. A ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } )
25		fveq2 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( I ` x ) = ( I ` y ) )
26	25	breq1d 4103	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) ~~ 1o <-> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
27	26	cbvrabv 2802	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o }
28	3, 4	umgrislfupgrdom 16055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. UMGraph <-> ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
29	9, 28	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
31	5	feq2i 5483	. . . . . . . . . . 11 |- ( I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } <-> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
32	30, 31	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
33		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. ~P V | 2o ~<_ x } = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
34	4, 5, 33	lfgrnloopen 16057	. . . . . . . . . 10 |- ( I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )
36	27, 35	eqtr3id 2278	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } = (/) )
37	24, 36	sseqtrd 3266	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ (/) )
38		ss0 3537	. . . . . . 7 |- ( { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ (/) -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } = (/) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } = (/) )
40	15, 39	eqtrid 2276	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) = { U } } = (/) )
41	40	fveq2d 5652	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) = (♯ ` (/) ) )
42		hash0 11104	. . . 4 |- (♯ ` (/) ) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2280	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) = 0 )
44	43	oveq2d 6044	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + 0 ) )
45	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxedgfi 16213	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin )
46		hashcl 11089	. . . . 5 |- ( { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
47	45, 46	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
48	47	nn0cnd 9501	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. CC )
49	48	addridd 8370	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + 0 ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )
50	13, 44, 49	3eqtrd 2268	1 |- ( ph -> ( D ` U ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   C_ wss 3201   (/)c0 3496   ~Pcpw 3656   {csn 3673   class class class wbr 4093   dom cdm 4731   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   2oc2o 6619   ~~ cen 6950   ~<_ cdom 6951   Fincfn 6952   0cc0 8075   + caddc 8078   NN0cn0 9444  ♯chash 11083  Vtxcvtx 15936  iEdgciedg 15937  UPGraphcupgr 16015  UMGraphcumgr 16016  VtxDegcvtxdg 16210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-xadd 10052  df-fz 10289  df-ihash 11084  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-upgren 16017  df-umgren 16018  df-vtxdg 16211

This theorem is referenced by:  vtxdusgrfvedgfi  16226  1hevtxdg1en  16232