Theorem vtxdumgrfival 16539

Description: The value of the vertex degree function for a finite multigraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfgrval.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdlfgrval.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxdlfgrval.a	|- A = dom I
vtxdlfgrval.d	|- D = (VtxDeg ` G )
vtxdumgrfival.g	|- ( ph -> G e. UMGraph )
vtxdumgrfival.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxdumgrfival.a	|- ( ph -> A e. Fin )
vtxdumgrfival.v	|- ( ph -> V e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
vtxdumgrfival	|- ( ph -> ( D ` U ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, G   x, I   x, U   x, V

Allowed substitution hints:   ph( x)   D( x)

Proof of Theorem vtxdumgrfival

Dummy variables y u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdlfgrval.d	. . . 4 |- D = (VtxDeg ` G )
2	1	fveq1i 5696	. . 3 |- ( D ` U ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U )
3		vtxdlfgrval.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
4		vtxdlfgrval.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
5		vtxdlfgrval.a	. . . 4 |- A = dom I
6		vtxdumgrfival.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		vtxdumgrfival.v	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
8		vtxdumgrfival.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
9		vtxdumgrfival.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. UMGraph )
10		umgrupgr 16353	. . . . 5 |- ( G e. UMGraph -> G e. UPGraph )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. UPGraph )
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxdgfifival 16532	. . 3 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
13	2, 12	eqtrid 2283	. 2 |- ( ph -> ( D ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
14		fveqeq2 5704	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) = { U } <-> ( I ` y ) = { U } ) )
15	14	cbvrabv 2820	. . . . . 6 |- { x e. A | ( I ` x ) = { U } } = { y e. A | ( I ` y ) = { U } }
16		sneq 3720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = U -> { u } = { U } )
17	16	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = U -> ( ( I ` y ) = { u } <-> ( I ` y ) = { U } ) )
18	17	spcegv 2913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. V -> ( ( I ` y ) = { U } -> E. u ( I ` y ) = { u } ) )
19	8, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( I ` y ) = { U } -> E. u ( I ` y ) = { u } ) )
20		en1 7086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` y ) ~~ 1o <-> E. u ( I ` y ) = { u } )
21	19, 20	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
22	21	ralrimivw 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. y e. A ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
23		ss2rab 3324	. . . . . . . . 9 |- ( { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } <-> A. y e. A ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } )
25		fveq2 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( I ` x ) = ( I ` y ) )
26	25	breq1d 4140	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) ~~ 1o <-> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
27	26	cbvrabv 2820	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o }
28	3, 4	umgrislfupgrdom 16372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. UMGraph <-> ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
29	9, 28	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
31	5	feq2i 5527	. . . . . . . . . . 11 |- ( I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } <-> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
32	30, 31	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
33		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. ~P V | 2o ~<_ x } = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
34	4, 5, 33	lfgrnloopen 16374	. . . . . . . . . 10 |- ( I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )
36	27, 35	eqtr3id 2285	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } = (/) )
37	24, 36	sseqtrd 3286	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ (/) )
38		ss0 3563	. . . . . . 7 |- ( { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ (/) -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } = (/) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } = (/) )
40	15, 39	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) = { U } } = (/) )
41	40	fveq2d 5699	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) = (♯ ` (/) ) )
42		hash0 11235	. . . 4 |- (♯ ` (/) ) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) = 0 )
44	43	oveq2d 6101	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + 0 ) )
45	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxedgfi 16530	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin )
46		hashcl 11220	. . . . 5 |- ( { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
47	45, 46	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
48	47	nn0cnd 9622	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. CC )
49	48	addridd 8475	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + 0 ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )
50	13, 44, 49	3eqtrd 2275	1 |- ( ph -> ( D ` U ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ~Pcpw 3688   {csn 3709   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1oc1o 6680   2oc2o 6681   ~~ cen 7020   ~<_ cdom 7021   Fincfn 7022   0cc0 8179   + caddc 8182   NN0cn0 9563  ♯chash 11214  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  UPGraphcupgr 16332  UMGraphcumgr 16333  VtxDegcvtxdg 16527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-xadd 10175  df-fz 10412  df-ihash 11215  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-upgren 16334  df-umgren 16335  df-vtxdg 16528

This theorem is used by:  vtxdusgrfvedgfi  16543  1hevtxdg1en  16549