Theorem vtxdumgrfival 16453

Description: The value of the vertex degree function for a finite multigraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfgrval.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdlfgrval.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxdlfgrval.a	|- A = dom I
vtxdlfgrval.d	|- D = (VtxDeg ` G )
vtxdumgrfival.g	|- ( ph -> G e. UMGraph )
vtxdumgrfival.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxdumgrfival.a	|- ( ph -> A e. Fin )
vtxdumgrfival.v	|- ( ph -> V e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
vtxdumgrfival	|- ( ph -> ( D ` U ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, G   x, I   x, U   x, V

Allowed substitution hints:   ph( x)   D( x)

Proof of Theorem vtxdumgrfival

Dummy variables y u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdlfgrval.d	. . . 4 |- D = (VtxDeg ` G )
2	1	fveq1i 5691	. . 3 |- ( D ` U ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U )
3		vtxdlfgrval.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
4		vtxdlfgrval.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
5		vtxdlfgrval.a	. . . 4 |- A = dom I
6		vtxdumgrfival.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		vtxdumgrfival.v	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
8		vtxdumgrfival.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
9		vtxdumgrfival.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. UMGraph )
10		umgrupgr 16267	. . . . 5 |- ( G e. UMGraph -> G e. UPGraph )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. UPGraph )
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxdgfifival 16446	. . 3 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
13	2, 12	eqtrid 2283	. 2 |- ( ph -> ( D ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
14		fveqeq2 5699	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) = { U } <-> ( I ` y ) = { U } ) )
15	14	cbvrabv 2820	. . . . . 6 |- { x e. A | ( I ` x ) = { U } } = { y e. A | ( I ` y ) = { U } }
16		sneq 3716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = U -> { u } = { U } )
17	16	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = U -> ( ( I ` y ) = { u } <-> ( I ` y ) = { U } ) )
18	17	spcegv 2913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. V -> ( ( I ` y ) = { U } -> E. u ( I ` y ) = { u } ) )
19	8, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( I ` y ) = { U } -> E. u ( I ` y ) = { u } ) )
20		en1 7076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` y ) ~~ 1o <-> E. u ( I ` y ) = { u } )
21	19, 20	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
22	21	ralrimivw 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. y e. A ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
23		ss2rab 3324	. . . . . . . . 9 |- ( { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } <-> A. y e. A ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } )
25		fveq2 5690	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( I ` x ) = ( I ` y ) )
26	25	breq1d 4135	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) ~~ 1o <-> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
27	26	cbvrabv 2820	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o }
28	3, 4	umgrislfupgrdom 16286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. UMGraph <-> ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
29	9, 28	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
31	5	feq2i 5522	. . . . . . . . . . 11 |- ( I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } <-> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
32	30, 31	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
33		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. ~P V | 2o ~<_ x } = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
34	4, 5, 33	lfgrnloopen 16288	. . . . . . . . . 10 |- ( I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )
36	27, 35	eqtr3id 2285	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } = (/) )
37	24, 36	sseqtrd 3286	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ (/) )
38		ss0 3563	. . . . . . 7 |- ( { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ (/) -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } = (/) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } = (/) )
40	15, 39	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) = { U } } = (/) )
41	40	fveq2d 5694	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) = (♯ ` (/) ) )
42		hash0 11213	. . . 4 |- (♯ ` (/) ) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) = 0 )
44	43	oveq2d 6091	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + 0 ) )
45	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxedgfi 16444	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin )
46		hashcl 11198	. . . . 5 |- ( { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
47	45, 46	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
48	47	nn0cnd 9601	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. CC )
49	48	addridd 8465	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + 0 ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )
50	13, 44, 49	3eqtrd 2275	1 |- ( ph -> ( D ` U ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ~Pcpw 3685   {csn 3705   class class class wbr 4125   dom cdm 4769   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   2oc2o 6671   ~~ cen 7010   ~<_ cdom 7011   Fincfn 7012   0cc0 8169   + caddc 8172   NN0cn0 9542  ♯chash 11192  Vtxcvtx 16167  iEdgciedg 16168  UPGraphcupgr 16246  UMGraphcumgr 16247  VtxDegcvtxdg 16441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-xadd 10154  df-fz 10391  df-ihash 11193  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-edgf 16160  df-vtx 16169  df-iedg 16170  df-upgren 16248  df-umgren 16249  df-vtxdg 16442

This theorem is referenced by:  vtxdusgrfvedgfi  16457  1hevtxdg1en  16463