Theorem vtxdumgrfival 16148

Description: The value of the vertex degree function for a finite multigraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfgrval.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdlfgrval.i	|- I = (iEdg ` G )
vtxdlfgrval.a	|- A = dom I
vtxdlfgrval.d	|- D = (VtxDeg ` G )
vtxdumgrfival.g	|- ( ph -> G e. UMGraph )
vtxdumgrfival.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxdumgrfival.a	|- ( ph -> A e. Fin )
vtxdumgrfival.v	|- ( ph -> V e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
vtxdumgrfival	|- ( ph -> ( D ` U ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, G   x, I   x, U   x, V

Allowed substitution hints:   ph( x)   D( x)

Proof of Theorem vtxdumgrfival

Dummy variables y u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdlfgrval.d	. . . 4 |- D = (VtxDeg ` G )
2	1	fveq1i 5640	. . 3 |- ( D ` U ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U )
3		vtxdlfgrval.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
4		vtxdlfgrval.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
5		vtxdlfgrval.a	. . . 4 |- A = dom I
6		vtxdumgrfival.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		vtxdumgrfival.v	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
8		vtxdumgrfival.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
9		vtxdumgrfival.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. UMGraph )
10		umgrupgr 15962	. . . . 5 |- ( G e. UMGraph -> G e. UPGraph )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> G e. UPGraph )
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxdgfifival 16141	. . 3 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
13	2, 12	eqtrid 2276	. 2 |- ( ph -> ( D ` U ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) )
14		fveqeq2 5648	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) = { U } <-> ( I ` y ) = { U } ) )
15	14	cbvrabv 2801	. . . . . 6 |- { x e. A | ( I ` x ) = { U } } = { y e. A | ( I ` y ) = { U } }
16		sneq 3680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = U -> { u } = { U } )
17	16	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = U -> ( ( I ` y ) = { u } <-> ( I ` y ) = { U } ) )
18	17	spcegv 2894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. V -> ( ( I ` y ) = { U } -> E. u ( I ` y ) = { u } ) )
19	8, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( I ` y ) = { U } -> E. u ( I ` y ) = { u } ) )
20		en1 6972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` y ) ~~ 1o <-> E. u ( I ` y ) = { u } )
21	19, 20	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
22	21	ralrimivw 2606	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. y e. A ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
23		ss2rab 3303	. . . . . . . . 9 |- ( { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } <-> A. y e. A ( ( I ` y ) = { U } -> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
24	22, 23	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } )
25		fveq2 5639	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( I ` x ) = ( I ` y ) )
26	25	breq1d 4098	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) ~~ 1o <-> ( I ` y ) ~~ 1o ) )
27	26	cbvrabv 2801	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o }
28	3, 4	umgrislfupgrdom 15981	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. UMGraph <-> ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
29	9, 28	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
30	29	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
31	5	feq2i 5476	. . . . . . . . . . 11 |- ( I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } <-> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
32	30, 31	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
33		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. ~P V | 2o ~<_ x } = { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
34	4, 5, 33	lfgrnloopen 15983	. . . . . . . . . 10 |- ( I : A --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) ~~ 1o } = (/) )
36	27, 35	eqtr3id 2278	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) ~~ 1o } = (/) )
37	24, 36	sseqtrd 3265	. . . . . . 7 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ (/) )
38		ss0 3535	. . . . . . 7 |- ( { y e. A | ( I ` y ) = { U } } C_ (/) -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } = (/) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { y e. A | ( I ` y ) = { U } } = (/) )
40	15, 39	eqtrid 2276	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. A | ( I ` x ) = { U } } = (/) )
41	40	fveq2d 5643	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) = (♯ ` (/) ) )
42		hash0 11057	. . . 4 |- (♯ ` (/) ) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2280	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) = 0 )
44	43	oveq2d 6033	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + (♯ ` { x e. A | ( I ` x ) = { U } } ) ) = ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + 0 ) )
45	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	vtxedgfi 16139	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin )
46		hashcl 11042	. . . . 5 |- ( { x e. A | U e. ( I ` x ) } e. Fin -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
47	45, 46	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. NN0 )
48	47	nn0cnd 9456	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) e. CC )
49	48	addridd 8327	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) + 0 ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )
50	13, 44, 49	3eqtrd 2268	1 |- ( ph -> ( D ` U ) = (♯ ` { x e. A | U e. ( I ` x ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ~Pcpw 3652   {csn 3669   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   1oc1o 6574   2oc2o 6575   ~~ cen 6906   ~<_ cdom 6907   Fincfn 6908   0cc0 8031   + caddc 8034   NN0cn0 9401  ♯chash 11036  Vtxcvtx 15862  iEdgciedg 15863  UPGraphcupgr 15941  UMGraphcumgr 15942  VtxDegcvtxdg 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-xadd 10007  df-fz 10243  df-ihash 11037  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-upgren 15943  df-umgren 15944  df-vtxdg 16137

This theorem is referenced by:  vtxdusgrfvedgfi  16152  1hevtxdg1en  16158