Theorem lmodvsdi 13644

Description: Distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsdi.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvsdi.a	|- .+ = ( +g ` W )
lmodvsdi.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsdi.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsdi.k	|- K = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsdi	|- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodvsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsdi.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` W )
2		lmodvsdi.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` W )
3		lmodvsdi.s	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` W )
4		lmodvsdi.f	. . . . . . . . 9 |- F = (Scalar ` W )
5		lmodvsdi.k	. . . . . . . . 9 |- K = ( Base ` F )
6		eqid 2189	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
7		eqid 2189	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
8		eqid 2189	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 13625	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( Y e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) /\ ( ( R ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) ) /\ ( ( ( R ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( R .x. ( R .x. X ) ) /\ ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X ) ) )
10	9	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( Y e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) /\ ( ( R ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
11	10	simp2d 1012	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( Y e. V /\ X e. V ) ) -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) )
12	11	3expia 1207	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) ) -> ( ( Y e. V /\ X e. V ) -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) ) )
13	12	anabsan2 584	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K ) -> ( ( Y e. V /\ X e. V ) -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) ) )
14	13	exp4b 367	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( R e. K -> ( Y e. V -> ( X e. V -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) ) ) ) )
15	14	com34 83	. 2 |- ( W e. LMod -> ( R e. K -> ( X e. V -> ( Y e. V -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) ) ) ) )
16	15	3imp2 1224	1 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Basecbs 12515   +g cplusg 12592   .rcmulr 12593  Scalarcsca 12595   .scvsca 12596   1rcur 13330   LModclmod 13620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1re 7936  ax-addrcl 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-ov 5900  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-sca 12608  df-vsca 12609  df-lmod 13622

This theorem is referenced by:  lmodcom  13666  lmodsubdi  13677  islss3  13712