Theorem lmodvsdi 13867

Description: Distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsdi.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvsdi.a	|- .+ = ( +g ` W )
lmodvsdi.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsdi.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsdi.k	|- K = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsdi	|- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodvsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsdi.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` W )
2		lmodvsdi.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` W )
3		lmodvsdi.s	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` W )
4		lmodvsdi.f	. . . . . . . . 9 |- F = (Scalar ` W )
5		lmodvsdi.k	. . . . . . . . 9 |- K = ( Base ` F )
6		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
7		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
8		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 13848	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( Y e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) /\ ( ( R ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) ) /\ ( ( ( R ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( R .x. ( R .x. X ) ) /\ ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X ) ) )
10	9	simpld 112	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( Y e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) /\ ( ( R ( +g ` F ) R ) .x. X ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
11	10	simp2d 1012	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) /\ ( Y e. V /\ X e. V ) ) -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) )
12	11	3expia 1207	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ R e. K ) ) -> ( ( Y e. V /\ X e. V ) -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) ) )
13	12	anabsan2 584	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ R e. K ) -> ( ( Y e. V /\ X e. V ) -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) ) )
14	13	exp4b 367	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( R e. K -> ( Y e. V -> ( X e. V -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) ) ) ) )
15	14	com34 83	. 2 |- ( W e. LMod -> ( R e. K -> ( X e. V -> ( Y e. V -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) ) ) ) )
16	15	3imp2 1224	1 |- ( ( W e. LMod /\ ( R e. K /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( R .x. ( X .+ Y ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   .rcmulr 12756  Scalarcsca 12758   .scvsca 12759   1rcur 13515   LModclmod 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-lmod 13845

This theorem is referenced by:  lmodcom  13889  lmodsubdi  13900  islss3  13935