Theorem lmodsubdi 14357

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdi.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubdi.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodsubdi.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsubdi.k	|- K = ( Base ` F )
lmodsubdi.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodsubdi.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodsubdi.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodsubdi.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodsubdi.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdi	|- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdi.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodsubdi.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
3		lmodsubdi.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
4		lmodsubdi.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
6		lmodsubdi.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` W )
7		lmodsubdi.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
8		lmodsubdi.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
9		eqid 2231	. . . . 5 |- ( invg ` F ) = ( invg ` F )
10		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 14355	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
13	12	oveq2d 6033	. 2 |- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
14		lmodsubdi.k	. . . . . . . 8 |- K = ( Base ` F )
15		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
16	7	lmodring 14308	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
17	1, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. Ring )
18		lmodsubdi.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. K )
19	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegr 14064	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) = ( ( invg ` F ) ` A ) )
20	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegl 14063	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) = ( ( invg ` F ) ` A ) )
21	19, 20	eqtr4d 2267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) )
22	21	oveq1d 6032	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) )
23		ringgrp 14013	. . . . . . . 8 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
24	17, 23	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. Grp )
25	14, 10	ringidcl 14032	. . . . . . . 8 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
26	17, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
27	14, 9	grpinvcl 13630	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
28	24, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
29	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 14326	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( A e. K /\ ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
30	1, 18, 28, 3, 29	syl13anc 1275	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
31	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 14326	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ A e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
32	1, 28, 18, 3, 31	syl13anc 1275	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
33	22, 30, 32	3eqtr3d 2272	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
34	33	oveq2d 6033	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
35	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14318	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ Y e. V ) -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V )
36	1, 28, 3, 35	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V )
37	4, 5, 7, 8, 14	lmodvsdi 14324	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( A e. K /\ X e. V /\ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V ) ) -> ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
38	1, 18, 2, 36, 37	syl13anc 1275	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
39	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14318	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
40	1, 18, 2, 39	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. V )
41	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14318	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ Y e. V ) -> ( A .x. Y ) e. V )
42	1, 18, 3, 41	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. Y ) e. V )
43	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 14355	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( A .x. X ) e. V /\ ( A .x. Y ) e. V ) -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
44	1, 40, 42, 43	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
45	34, 38, 44	3eqtr4rd 2275	. 2 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
46	13, 45	eqtr4d 2267	1 |- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160  Scalarcsca 13162   .scvsca 13163   Grpcgrp 13582   invgcminusg 13583   -gcsg 13584   1rcur 13971   Ringcrg 14008   LModclmod 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-sbg 13587  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-lmod 14302

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