Theorem lmodsubdi 13843

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdi.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubdi.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodsubdi.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsubdi.k	|- K = ( Base ` F )
lmodsubdi.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodsubdi.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodsubdi.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodsubdi.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodsubdi.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdi	|- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdi.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodsubdi.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
3		lmodsubdi.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
4		lmodsubdi.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
5		eqid 2193	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
6		lmodsubdi.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` W )
7		lmodsubdi.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
8		lmodsubdi.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
9		eqid 2193	. . . . 5 |- ( invg ` F ) = ( invg ` F )
10		eqid 2193	. . . . 5 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 13841	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
13	12	oveq2d 5935	. 2 |- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
14		lmodsubdi.k	. . . . . . . 8 |- K = ( Base ` F )
15		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
16	7	lmodring 13794	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
17	1, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. Ring )
18		lmodsubdi.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. K )
19	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegr 13551	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) = ( ( invg ` F ) ` A ) )
20	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegl 13550	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) = ( ( invg ` F ) ` A ) )
21	19, 20	eqtr4d 2229	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) )
22	21	oveq1d 5934	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) )
23		ringgrp 13500	. . . . . . . 8 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
24	17, 23	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. Grp )
25	14, 10	ringidcl 13519	. . . . . . . 8 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
26	17, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
27	14, 9	grpinvcl 13123	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
28	24, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
29	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 13812	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( A e. K /\ ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
30	1, 18, 28, 3, 29	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
31	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 13812	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ A e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
32	1, 28, 18, 3, 31	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
33	22, 30, 32	3eqtr3d 2234	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
34	33	oveq2d 5935	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
35	4, 7, 8, 14	lmodvscl 13804	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ Y e. V ) -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V )
36	1, 28, 3, 35	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V )
37	4, 5, 7, 8, 14	lmodvsdi 13810	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( A e. K /\ X e. V /\ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V ) ) -> ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
38	1, 18, 2, 36, 37	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
39	4, 7, 8, 14	lmodvscl 13804	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
40	1, 18, 2, 39	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. V )
41	4, 7, 8, 14	lmodvscl 13804	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ Y e. V ) -> ( A .x. Y ) e. V )
42	1, 18, 3, 41	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. Y ) e. V )
43	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 13841	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( A .x. X ) e. V /\ ( A .x. Y ) e. V ) -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
44	1, 40, 42, 43	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
45	34, 38, 44	3eqtr4rd 2237	. 2 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
46	13, 45	eqtr4d 2229	1 |- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   .rcmulr 12699  Scalarcsca 12701   .scvsca 12702   Grpcgrp 13075   invgcminusg 13076   -gcsg 13077   1rcur 13458   Ringcrg 13495   LModclmod 13786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-ring 13497  df-lmod 13788

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