Theorem lmodsubdi 14653

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdi.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubdi.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodsubdi.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsubdi.k	|- K = ( Base ` F )
lmodsubdi.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodsubdi.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodsubdi.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodsubdi.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodsubdi.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdi	|- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdi.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodsubdi.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
3		lmodsubdi.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
4		lmodsubdi.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
5		eqid 2238	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
6		lmodsubdi.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` W )
7		lmodsubdi.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
8		lmodsubdi.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
9		eqid 2238	. . . . 5 |- ( invg ` F ) = ( invg ` F )
10		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 14651	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
13	12	oveq2d 6091	. 2 |- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
14		lmodsubdi.k	. . . . . . . 8 |- K = ( Base ` F )
15		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
16	7	lmodring 14604	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
17	1, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. Ring )
18		lmodsubdi.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. K )
19	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegr 14330	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) = ( ( invg ` F ) ` A ) )
20	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegl 14329	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) = ( ( invg ` F ) ` A ) )
21	19, 20	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) )
22	21	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) )
23		ringgrp 14279	. . . . . . . 8 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
24	17, 23	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. Grp )
25	14, 10	ringidcl 14298	. . . . . . . 8 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
26	17, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
27	14, 9	grpinvcl 13830	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
28	24, 26, 27	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
29	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 14622	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( A e. K /\ ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
30	1, 18, 28, 3, 29	syl13anc 1280	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
31	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 14622	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ A e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
32	1, 28, 18, 3, 31	syl13anc 1280	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
33	22, 30, 32	3eqtr3d 2279	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
34	33	oveq2d 6091	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
35	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14614	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ Y e. V ) -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V )
36	1, 28, 3, 35	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V )
37	4, 5, 7, 8, 14	lmodvsdi 14620	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( A e. K /\ X e. V /\ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V ) ) -> ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
38	1, 18, 2, 36, 37	syl13anc 1280	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
39	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14614	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
40	1, 18, 2, 39	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. V )
41	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14614	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ Y e. V ) -> ( A .x. Y ) e. V )
42	1, 18, 3, 41	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. Y ) e. V )
43	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 14651	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( A .x. X ) e. V /\ ( A .x. Y ) e. V ) -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
44	1, 40, 42, 43	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
45	34, 38, 44	3eqtr4rd 2282	. 2 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
46	13, 45	eqtr4d 2274	1 |- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   .rcmulr 13409  Scalarcsca 13411   .scvsca 13412   Grpcgrp 13782   invgcminusg 13783   -gcsg 13784   1rcur 14237   Ringcrg 14274   LModclmod 14596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-sbg 13787  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-lmod 14598

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