Theorem lmodsubdi 14492

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdi.v	|- V = ( Base ` W )
lmodsubdi.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodsubdi.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodsubdi.k	|- K = ( Base ` F )
lmodsubdi.m	|- .- = ( -g ` W )
lmodsubdi.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodsubdi.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodsubdi.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodsubdi.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdi	|- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdi.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodsubdi.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
3		lmodsubdi.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
4		lmodsubdi.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
5		eqid 2232	. . . . 5 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
6		lmodsubdi.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` W )
7		lmodsubdi.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
8		lmodsubdi.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
9		eqid 2232	. . . . 5 |- ( invg ` F ) = ( invg ` F )
10		eqid 2232	. . . . 5 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 14490	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
13	12	oveq2d 6066	. 2 |- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
14		lmodsubdi.k	. . . . . . . 8 |- K = ( Base ` F )
15		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
16	7	lmodring 14443	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
17	1, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. Ring )
18		lmodsubdi.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. K )
19	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegr 14196	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) = ( ( invg ` F ) ` A ) )
20	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegl 14195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) = ( ( invg ` F ) ` A ) )
21	19, 20	eqtr4d 2268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) )
22	21	oveq1d 6065	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) )
23		ringgrp 14145	. . . . . . . 8 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
24	17, 23	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. Grp )
25	14, 10	ringidcl 14164	. . . . . . . 8 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. K )
26	17, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` F ) e. K )
27	14, 9	grpinvcl 13761	. . . . . . 7 |- ( ( F e. Grp /\ ( 1r ` F ) e. K ) -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
28	24, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K )
29	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 14461	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( A e. K /\ ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
30	1, 18, 28, 3, 29	syl13anc 1276	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ( .r ` F ) ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ) .x. Y ) = ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) )
31	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 14461	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ A e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
32	1, 28, 18, 3, 31	syl13anc 1276	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) ( .r ` F ) A ) .x. Y ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
33	22, 30, 32	3eqtr3d 2273	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) = ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) )
34	33	oveq2d 6066	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
35	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14453	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) e. K /\ Y e. V ) -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V )
36	1, 28, 3, 35	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V )
37	4, 5, 7, 8, 14	lmodvsdi 14459	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( A e. K /\ X e. V /\ ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) e. V ) ) -> ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
38	1, 18, 2, 36, 37	syl13anc 1276	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( A .x. ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
39	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14453	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
40	1, 18, 2, 39	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. V )
41	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14453	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ Y e. V ) -> ( A .x. Y ) e. V )
42	1, 18, 3, 41	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. Y ) e. V )
43	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 14490	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( A .x. X ) e. V /\ ( A .x. Y ) e. V ) -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
44	1, 40, 42, 43	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( ( A .x. X ) ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. ( A .x. Y ) ) ) )
45	34, 38, 44	3eqtr4rd 2276	. 2 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X ( +g ` W ) ( ( ( invg ` F ) ` ( 1r ` F ) ) .x. Y ) ) ) )
46	13, 45	eqtr4d 2268	1 |- ( ph -> ( A .x. ( X .- Y ) ) = ( ( A .x. X ) .- ( A .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   .rcmulr 13291  Scalarcsca 13293   .scvsca 13294   Grpcgrp 13713   invgcminusg 13714   -gcsg 13715   1rcur 14103   Ringcrg 14140   LModclmod 14435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-sbg 13718  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142  df-lmod 14437

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