Theorem lmodlema 13788

Description: Lemma for properties of a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmod.v	|- V = ( Base ` W )
islmod.a	|- .+ = ( +g ` W )
islmod.s	|- .x. = ( .s ` W )
islmod.f	|- F = (Scalar ` W )
islmod.k	|- K = ( Base ` F )
islmod.p	|- .+^ = ( +g ` F )
islmod.t	|- .X. = ( .r ` F )
islmod.u	|- .1. = ( 1r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodlema	|- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) )

Proof of Theorem lmodlema

Dummy variables q r w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islmod.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
2		islmod.a	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` W )
3		islmod.s	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` W )
4		islmod.f	. . . . . 6 |- F = (Scalar ` W )
5		islmod.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
6		islmod.p	. . . . . 6 |- .+^ = ( +g ` F )
7		islmod.t	. . . . . 6 |- .X. = ( .r ` F )
8		islmod.u	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 13787	. . . . 5 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
10	9	simp3bi 1016	. . . 4 |- ( W e. LMod -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
11		oveq1 5925	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q .+^ r ) = ( Q .+^ r ) )
12	11	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .+^ r ) .x. w ) )
13		oveq1 5925	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q .x. w ) = ( Q .x. w ) )
14	13	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> ( ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) )
16	15	3anbi3d 1329	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) <-> ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) ) )
17		oveq1 5925	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q .X. r ) = ( Q .X. r ) )
18	17	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( ( Q .X. r ) .x. w ) )
19		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( q .x. ( r .x. w ) ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) ) )
21	20	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> ( ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) <-> ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
22	16, 21	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( q = Q -> ( ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
23	22	2ralbidv 2518	. . . . 5 |- ( q = Q -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
24		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( r .x. w ) = ( R .x. w ) )
25	24	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( r .x. w ) e. V <-> ( R .x. w ) e. V ) )
26		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( R .x. ( w .+ x ) ) )
27		oveq1 5925	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( r .x. x ) = ( R .x. x ) )
28	24, 27	oveq12d 5936	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) <-> ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) ) )
30		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( Q .+^ r ) = ( Q .+^ R ) )
31	30	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .+^ R ) .x. w ) )
32	24	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) )
33	31, 32	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) )
34	25, 29, 33	3anbi123d 1323	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) ) )
35		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( Q .X. r ) = ( Q .X. R ) )
36	35	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( ( Q .X. R ) .x. w ) )
37	24	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( Q .x. ( r .x. w ) ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) )
38	36, 37	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) ) )
39	38	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) <-> ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
40	34, 39	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
41	40	2ralbidv 2518	. . . . 5 |- ( r = R -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
42	23, 41	rspc2v 2877	. . . 4 |- ( ( Q e. K /\ R e. K ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
43	10, 42	mpan9 281	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
44		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( w .+ x ) = ( w .+ X ) )
45	44	oveq2d 5934	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( R .x. ( w .+ X ) ) )
46		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( R .x. x ) = ( R .x. X ) )
47	46	oveq2d 5934	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) )
48	45, 47	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) <-> ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
49	48	3anbi2d 1328	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) ) )
50	49	anbi1d 465	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
51		oveq2 5926	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( R .x. w ) = ( R .x. Y ) )
52	51	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( R .x. w ) e. V <-> ( R .x. Y ) e. V ) )
53		oveq1 5925	. . . . . . . 8 |- ( w = Y -> ( w .+ X ) = ( Y .+ X ) )
54	53	oveq2d 5934	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( R .x. ( Y .+ X ) ) )
55	51	oveq1d 5933	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) )
56	54, 55	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) <-> ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
57		oveq2 5926	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) )
58		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( w = Y -> ( Q .x. w ) = ( Q .x. Y ) )
59	58, 51	oveq12d 5936	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) )
60	57, 59	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) )
61	52, 56, 60	3anbi123d 1323	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) ) )
62		oveq2 5926	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( ( Q .X. R ) .x. Y ) )
63	51	oveq2d 5934	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( Q .x. ( R .x. w ) ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) )
64	62, 63	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) ) )
65		oveq2 5926	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( .1. .x. w ) = ( .1. .x. Y ) )
66		id 19	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> w = Y )
67	65, 66	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( .1. .x. w ) = w <-> ( .1. .x. Y ) = Y ) )
68	64, 67	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) <-> ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) )
69	61, 68	anbi12d 473	. . . 4 |- ( w = Y -> ( ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) ) )
70	50, 69	rspc2v 2877	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) ) )
71	43, 70	syl5com 29	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) -> ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) ) )
72	71	3impia 1202	1 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   .rcmulr 12696  Scalarcsca 12698   .scvsca 12699   Grpcgrp 13072   1rcur 13455   Ringcrg 13492   LModclmod 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-lmod 13785

This theorem is referenced by:  lmodvscl  13801  lmodvsdi  13807  lmodvsdir  13808  lmodvsass  13809  lmodvs1  13812