Theorem lmodlema 13848

Description: Lemma for properties of a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmod.v	|- V = ( Base ` W )
islmod.a	|- .+ = ( +g ` W )
islmod.s	|- .x. = ( .s ` W )
islmod.f	|- F = (Scalar ` W )
islmod.k	|- K = ( Base ` F )
islmod.p	|- .+^ = ( +g ` F )
islmod.t	|- .X. = ( .r ` F )
islmod.u	|- .1. = ( 1r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodlema	|- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) )

Proof of Theorem lmodlema

Dummy variables q r w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islmod.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
2		islmod.a	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` W )
3		islmod.s	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` W )
4		islmod.f	. . . . . 6 |- F = (Scalar ` W )
5		islmod.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
6		islmod.p	. . . . . 6 |- .+^ = ( +g ` F )
7		islmod.t	. . . . . 6 |- .X. = ( .r ` F )
8		islmod.u	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 13847	. . . . 5 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
10	9	simp3bi 1016	. . . 4 |- ( W e. LMod -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
11		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q .+^ r ) = ( Q .+^ r ) )
12	11	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .+^ r ) .x. w ) )
13		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q .x. w ) = ( Q .x. w ) )
14	13	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> ( ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) )
16	15	3anbi3d 1329	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) <-> ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) ) )
17		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q .X. r ) = ( Q .X. r ) )
18	17	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( ( Q .X. r ) .x. w ) )
19		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( q .x. ( r .x. w ) ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) ) )
21	20	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> ( ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) <-> ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
22	16, 21	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( q = Q -> ( ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
23	22	2ralbidv 2521	. . . . 5 |- ( q = Q -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
24		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( r .x. w ) = ( R .x. w ) )
25	24	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( r .x. w ) e. V <-> ( R .x. w ) e. V ) )
26		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( R .x. ( w .+ x ) ) )
27		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( r .x. x ) = ( R .x. x ) )
28	24, 27	oveq12d 5940	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) <-> ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) ) )
30		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( Q .+^ r ) = ( Q .+^ R ) )
31	30	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .+^ R ) .x. w ) )
32	24	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) )
33	31, 32	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) )
34	25, 29, 33	3anbi123d 1323	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) ) )
35		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( Q .X. r ) = ( Q .X. R ) )
36	35	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( ( Q .X. R ) .x. w ) )
37	24	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( Q .x. ( r .x. w ) ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) )
38	36, 37	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) ) )
39	38	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) <-> ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
40	34, 39	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
41	40	2ralbidv 2521	. . . . 5 |- ( r = R -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
42	23, 41	rspc2v 2881	. . . 4 |- ( ( Q e. K /\ R e. K ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
43	10, 42	mpan9 281	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
44		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( w .+ x ) = ( w .+ X ) )
45	44	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( R .x. ( w .+ X ) ) )
46		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( R .x. x ) = ( R .x. X ) )
47	46	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) )
48	45, 47	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) <-> ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
49	48	3anbi2d 1328	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) ) )
50	49	anbi1d 465	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
51		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( R .x. w ) = ( R .x. Y ) )
52	51	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( R .x. w ) e. V <-> ( R .x. Y ) e. V ) )
53		oveq1 5929	. . . . . . . 8 |- ( w = Y -> ( w .+ X ) = ( Y .+ X ) )
54	53	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( R .x. ( Y .+ X ) ) )
55	51	oveq1d 5937	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) )
56	54, 55	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) <-> ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
57		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) )
58		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( w = Y -> ( Q .x. w ) = ( Q .x. Y ) )
59	58, 51	oveq12d 5940	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) )
60	57, 59	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) )
61	52, 56, 60	3anbi123d 1323	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) ) )
62		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( ( Q .X. R ) .x. Y ) )
63	51	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( Q .x. ( R .x. w ) ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) )
64	62, 63	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) ) )
65		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( .1. .x. w ) = ( .1. .x. Y ) )
66		id 19	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> w = Y )
67	65, 66	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( .1. .x. w ) = w <-> ( .1. .x. Y ) = Y ) )
68	64, 67	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) <-> ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) )
69	61, 68	anbi12d 473	. . . 4 |- ( w = Y -> ( ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) ) )
70	50, 69	rspc2v 2881	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) ) )
71	43, 70	syl5com 29	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) -> ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) ) )
72	71	3impia 1202	1 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   .rcmulr 12756  Scalarcsca 12758   .scvsca 12759   Grpcgrp 13132   1rcur 13515   Ringcrg 13552   LModclmod 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-lmod 13845

This theorem is referenced by:  lmodvscl  13861  lmodvsdi  13867  lmodvsdir  13868  lmodvsass  13869  lmodvs1  13872