Theorem lmodlema 14628

Description: Lemma for properties of a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmod.v	|- V = ( Base ` W )
islmod.a	|- .+ = ( +g ` W )
islmod.s	|- .x. = ( .s ` W )
islmod.f	|- F = (Scalar ` W )
islmod.k	|- K = ( Base ` F )
islmod.p	|- .+^ = ( +g ` F )
islmod.t	|- .X. = ( .r ` F )
islmod.u	|- .1. = ( 1r ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodlema	|- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) )

Proof of Theorem lmodlema

Dummy variables q r w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islmod.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
2		islmod.a	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` W )
3		islmod.s	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` W )
4		islmod.f	. . . . . 6 |- F = (Scalar ` W )
5		islmod.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
6		islmod.p	. . . . . 6 |- .+^ = ( +g ` F )
7		islmod.t	. . . . . 6 |- .X. = ( .r ` F )
8		islmod.u	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 14627	. . . . 5 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
10	9	simp3bi 1045	. . . 4 |- ( W e. LMod -> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
11		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q .+^ r ) = ( Q .+^ r ) )
12	11	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .+^ r ) .x. w ) )
13		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q .x. w ) = ( Q .x. w ) )
14	13	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2253	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> ( ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) )
16	15	3anbi3d 1359	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) <-> ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) ) )
17		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Q -> ( q .X. r ) = ( Q .X. r ) )
18	17	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( ( Q .X. r ) .x. w ) )
19		oveq1 6092	. . . . . . . . 9 |- ( q = Q -> ( q .x. ( r .x. w ) ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2253	. . . . . . . 8 |- ( q = Q -> ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) ) )
21	20	anbi1d 469	. . . . . . 7 |- ( q = Q -> ( ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) <-> ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
22	16, 21	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( q = Q -> ( ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
23	22	2ralbidv 2574	. . . . 5 |- ( q = Q -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
24		oveq1 6092	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( r .x. w ) = ( R .x. w ) )
25	24	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( r .x. w ) e. V <-> ( R .x. w ) e. V ) )
26		oveq1 6092	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( R .x. ( w .+ x ) ) )
27		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( r .x. x ) = ( R .x. x ) )
28	24, 27	oveq12d 6103	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2253	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) <-> ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) ) )
30		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( Q .+^ r ) = ( Q .+^ R ) )
31	30	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .+^ R ) .x. w ) )
32	24	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) )
33	31, 32	eqeq12d 2253	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) )
34	25, 29, 33	3anbi123d 1353	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) ) )
35		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( Q .X. r ) = ( Q .X. R ) )
36	35	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( ( Q .X. R ) .x. w ) )
37	24	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( Q .x. ( r .x. w ) ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) )
38	36, 37	eqeq12d 2253	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) ) )
39	38	anbi1d 469	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) <-> ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
40	34, 39	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
41	40	2ralbidv 2574	. . . . 5 |- ( r = R -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ r ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. r ) .x. w ) = ( Q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
42	23, 41	rspc2v 2943	. . . 4 |- ( ( Q e. K /\ R e. K ) -> ( A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
43	10, 42	mpan9 281	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) -> A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
44		oveq2 6093	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( w .+ x ) = ( w .+ X ) )
45	44	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( R .x. ( w .+ X ) ) )
46		oveq2 6093	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( R .x. x ) = ( R .x. X ) )
47	46	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) )
48	45, 47	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) <-> ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
49	48	3anbi2d 1358	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) ) )
50	49	anbi1d 469	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
51		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( R .x. w ) = ( R .x. Y ) )
52	51	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( R .x. w ) e. V <-> ( R .x. Y ) e. V ) )
53		oveq1 6092	. . . . . . . 8 |- ( w = Y -> ( w .+ X ) = ( Y .+ X ) )
54	53	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( R .x. ( Y .+ X ) ) )
55	51	oveq1d 6100	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) )
56	54, 55	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) <-> ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
57		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) )
58		oveq2 6093	. . . . . . . 8 |- ( w = Y -> ( Q .x. w ) = ( Q .x. Y ) )
59	58, 51	oveq12d 6103	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) )
60	57, 59	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) <-> ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) )
61	52, 56, 60	3anbi123d 1353	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) <-> ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) ) )
62		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( ( Q .X. R ) .x. Y ) )
63	51	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( Q .x. ( R .x. w ) ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) )
64	62, 63	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) <-> ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) ) )
65		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> ( .1. .x. w ) = ( .1. .x. Y ) )
66		id 19	. . . . . . 7 |- ( w = Y -> w = Y )
67	65, 66	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( w = Y -> ( ( .1. .x. w ) = w <-> ( .1. .x. Y ) = Y ) )
68	64, 67	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( w = Y -> ( ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) <-> ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) )
69	61, 68	anbi12d 477	. . . 4 |- ( w = Y -> ( ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ X ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) ) )
70	50, 69	rspc2v 2943	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( R .x. w ) e. V /\ ( R .x. ( w .+ x ) ) = ( ( R .x. w ) .+ ( R .x. x ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. w ) = ( ( Q .x. w ) .+ ( R .x. w ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. w ) = ( Q .x. ( R .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) ) )
71	43, 70	syl5com 29	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) -> ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) ) )
72	71	3impia 1231	1 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( R .x. Y ) e. V /\ ( R .x. ( Y .+ X ) ) = ( ( R .x. Y ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. Y ) = ( ( Q .x. Y ) .+ ( R .x. Y ) ) ) /\ ( ( ( Q .X. R ) .x. Y ) = ( Q .x. ( R .x. Y ) ) /\ ( .1. .x. Y ) = Y ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   .rcmulr 13432  Scalarcsca 13434   .scvsca 13435   Grpcgrp 13805   1rcur 14262   Ringcrg 14300   LModclmod 14623

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-lmod 14625

This theorem is used by:  lmodvscl  14641  lmodvsdi  14648  lmodvsdir  14649  lmodvsass  14650  lmodvs1  14653