Theorem lmodvsdir 13402

Description: Distributive law for scalar product (right-distributivity). (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsdir.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvsdir.a	|- .+ = ( +g ` W )
lmodvsdir.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsdir.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsdir.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvsdir.p	|- .+^ = ( +g ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsdir	|- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) )

Proof of Theorem lmodvsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsdir.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
2		lmodvsdir.a	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` W )
3		lmodvsdir.s	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` W )
4		lmodvsdir.f	. . . . . . . 8 |- F = (Scalar ` W )
5		lmodvsdir.k	. . . . . . . 8 |- K = ( Base ` F )
6		lmodvsdir.p	. . . . . . . 8 |- .+^ = ( +g ` F )
7		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
8		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 13382	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X .+ X ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) ) /\ ( ( ( Q ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) /\ ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X ) ) )
10	9	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X .+ X ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
11	10	simp3d 1011	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) )
12	11	3expa 1203	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) )
13	12	anabsan2 584	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) /\ X e. V ) -> ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) )
14	13	exp42 371	. 2 |- ( W e. LMod -> ( Q e. K -> ( R e. K -> ( X e. V -> ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) ) ) ) )
15	14	3imp2 1222	1 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   Basecbs 12462   +g cplusg 12536   .rcmulr 12537  Scalarcsca 12539   .scvsca 12540   1rcur 13142   LModclmod 13377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-ov 5878  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-sca 12552  df-vsca 12553  df-lmod 13379

This theorem is referenced by:  lmod0vs  13411  lmodvsmmulgdi  13413  lmodvneg1  13420  lmodcom  13423  lmodsubdir  13435