Theorem lmodvsdir 13944

Description: Distributive law for scalar product (right-distributivity). (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsdir.v	|- V = ( Base ` W )
lmodvsdir.a	|- .+ = ( +g ` W )
lmodvsdir.f	|- F = (Scalar ` W )
lmodvsdir.s	|- .x. = ( .s ` W )
lmodvsdir.k	|- K = ( Base ` F )
lmodvsdir.p	|- .+^ = ( +g ` F )

Assertion

Ref	Expression
lmodvsdir	|- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) )

Proof of Theorem lmodvsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsdir.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
2		lmodvsdir.a	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` W )
3		lmodvsdir.s	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` W )
4		lmodvsdir.f	. . . . . . . 8 |- F = (Scalar ` W )
5		lmodvsdir.k	. . . . . . . 8 |- K = ( Base ` F )
6		lmodvsdir.p	. . . . . . . 8 |- .+^ = ( +g ` F )
7		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
8		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 13924	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X .+ X ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) ) /\ ( ( ( Q ( .r ` F ) R ) .x. X ) = ( Q .x. ( R .x. X ) ) /\ ( ( 1r ` F ) .x. X ) = X ) ) )
10	9	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( R .x. X ) e. V /\ ( R .x. ( X .+ X ) ) = ( ( R .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) /\ ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) ) )
11	10	simp3d 1013	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) )
12	11	3expa 1205	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) /\ ( X e. V /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) )
13	12	anabsan2 584	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K ) ) /\ X e. V ) -> ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) )
14	13	exp42 371	. 2 |- ( W e. LMod -> ( Q e. K -> ( R e. K -> ( X e. V -> ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) ) ) ) )
15	14	3imp2 1224	1 |- ( ( W e. LMod /\ ( Q e. K /\ R e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( Q .+^ R ) .x. X ) = ( ( Q .x. X ) .+ ( R .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   .rcmulr 12781  Scalarcsca 12783   .scvsca 12784   1rcur 13591   LModclmod 13919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-lmod 13921

This theorem is referenced by:  lmod0vs  13953  lmodvsmmulgdi  13955  lmodvneg1  13962  lmodcom  13965  lmodsubdir  13977  islss3  14011  lss1d  14015