Theorem lmodscaf 13619

Description: The scalar multiplication operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
scaffval.b	|- B = ( Base ` W )
scaffval.f	|- F = (Scalar ` W )
scaffval.k	|- K = ( Base ` F )
scaffval.a	|- .xb = ( .sf ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodscaf	|- ( W e. LMod -> .xb : ( K X. B ) --> B )

Proof of Theorem lmodscaf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaffval.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` W )
2		scaffval.f	. . . . . 6 |- F = (Scalar ` W )
3		eqid 2189	. . . . . 6 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
4		scaffval.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
5	1, 2, 3, 4	lmodvscl 13614	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ x e. K /\ y e. B ) -> ( x ( .s ` W ) y ) e. B )
6	5	3expb 1206	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( x e. K /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` W ) y ) e. B )
7	6	ralrimivva 2572	. . 3 |- ( W e. LMod -> A. x e. K A. y e. B ( x ( .s ` W ) y ) e. B )
8		eqid 2189	. . . 4 |- ( x e. K , y e. B |-> ( x ( .s ` W ) y ) ) = ( x e. K , y e. B |-> ( x ( .s ` W ) y ) )
9	8	fmpo 6221	. . 3 |- ( A. x e. K A. y e. B ( x ( .s ` W ) y ) e. B <-> ( x e. K , y e. B |-> ( x ( .s ` W ) y ) ) : ( K X. B ) --> B )
10	7, 9	sylib 122	. 2 |- ( W e. LMod -> ( x e. K , y e. B |-> ( x ( .s ` W ) y ) ) : ( K X. B ) --> B )
11		scaffval.a	. . . 4 |- .xb = ( .sf ` W )
12	1, 2, 4, 11, 3	scaffvalg 13615	. . 3 |- ( W e. LMod -> .xb = ( x e. K , y e. B |-> ( x ( .s ` W ) y ) ) )
13	12	feq1d 5368	. 2 |- ( W e. LMod -> ( .xb : ( K X. B ) --> B <-> ( x e. K , y e. B |-> ( x ( .s ` W ) y ) ) : ( K X. B ) --> B ) )
14	10, 13	mpbird 167	1 |- ( W e. LMod -> .xb : ( K X. B ) --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   X. cxp 4639   -->wf 5228   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   e. cmpo 5894   Basecbs 12507  Scalarcsca 12585   .scvsca 12586   LModclmod 13596   .sfcscaf 13597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1re 7930  ax-addrcl 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-5 9006  df-6 9007  df-ndx 12510  df-slot 12511  df-base 12513  df-plusg 12595  df-mulr 12596  df-sca 12598  df-vsca 12599  df-lmod 13598  df-scaf 13599

This theorem is referenced by: (None)