Theorem lmodscaf 13866

Description: The scalar multiplication operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
scaffval.b	|- B = ( Base ` W )
scaffval.f	|- F = (Scalar ` W )
scaffval.k	|- K = ( Base ` F )
scaffval.a	|- .xb = ( .sf ` W )

Assertion

Ref	Expression
lmodscaf	|- ( W e. LMod -> .xb : ( K X. B ) --> B )

Proof of Theorem lmodscaf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaffval.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` W )
2		scaffval.f	. . . . . 6 |- F = (Scalar ` W )
3		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
4		scaffval.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
5	1, 2, 3, 4	lmodvscl 13861	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ x e. K /\ y e. B ) -> ( x ( .s ` W ) y ) e. B )
6	5	3expb 1206	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( x e. K /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` W ) y ) e. B )
7	6	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( W e. LMod -> A. x e. K A. y e. B ( x ( .s ` W ) y ) e. B )
8		eqid 2196	. . . 4 |- ( x e. K , y e. B |-> ( x ( .s ` W ) y ) ) = ( x e. K , y e. B |-> ( x ( .s ` W ) y ) )
9	8	fmpo 6259	. . 3 |- ( A. x e. K A. y e. B ( x ( .s ` W ) y ) e. B <-> ( x e. K , y e. B |-> ( x ( .s ` W ) y ) ) : ( K X. B ) --> B )
10	7, 9	sylib 122	. 2 |- ( W e. LMod -> ( x e. K , y e. B |-> ( x ( .s ` W ) y ) ) : ( K X. B ) --> B )
11		scaffval.a	. . . 4 |- .xb = ( .sf ` W )
12	1, 2, 4, 11, 3	scaffvalg 13862	. . 3 |- ( W e. LMod -> .xb = ( x e. K , y e. B |-> ( x ( .s ` W ) y ) ) )
13	12	feq1d 5394	. 2 |- ( W e. LMod -> ( .xb : ( K X. B ) --> B <-> ( x e. K , y e. B |-> ( x ( .s ` W ) y ) ) : ( K X. B ) --> B ) )
14	10, 13	mpbird 167	1 |- ( W e. LMod -> .xb : ( K X. B ) --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   X. cxp 4661   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   Basecbs 12678  Scalarcsca 12758   .scvsca 12759   LModclmod 13843   .sfcscaf 13844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-lmod 13845  df-scaf 13846

This theorem is referenced by: (None)