Theorem lmodvsdi 13807

Description: Distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsdi.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvsdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsdi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodvsdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsdi.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lmodvsdi.a	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lmodvsdi.s	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		lmodvsdi.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodvsdi.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
7		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
8		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 13788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)) ∧ ((𝑅(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑅(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
10	9	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)) ∧ ((𝑅(+g‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))
11	10	simp2d 1012	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))
12	11	3expia 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) → ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))
13	12	anabsan2 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))
14	13	exp4b 367	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))))
15	14	com34 83	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))))
16	15	3imp2 1224	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696  Scalarcsca 12698   ·_𝑠 cvsca 12699  1_rcur 13455  LModclmod 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-lmod 13785

This theorem is referenced by:  lmodcom  13829  lmodsubdi  13840  islss3  13875