Theorem lmodvsdir 14621

Description: Distributive law for scalar product (right-distributivity). (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsdir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsdir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvsdir.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsdir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsdir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsdir	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsdir.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lmodvsdir.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lmodvsdir.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		lmodvsdir.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodvsdir.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		lmodvsdir.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
7		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
8		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 14601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑄(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
10	9	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))
11	10	simp3d 1042	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
12	11	3expa 1234	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
13	12	anabsan2 590	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
14	13	exp42 371	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑄 ∈ 𝐾 → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))))
15	14	3imp2 1253	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Basecbs 13330  +_gcplusg 13408  ._rcmulr 13409  Scalarcsca 13411   ·_𝑠 cvsca 13412  1_rcur 14237  LModclmod 14596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-lmod 14598

This theorem is referenced by:  lmod0vs  14630  lmodvsmmulgdi  14632  lmodvneg1  14639  lmodcom  14642  lmodsubdir  14654  islss3  14688  lss1d  14692