ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodvsdir GIF version
Theorem lmodvsdir 13407
Description: Distributive law for scalar product (right-distributivity). (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsdir.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvsdir.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lmodvsdir.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvsdir.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvsdir.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodvsdir.p ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodvsdir ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋)))
Proof of Theorem lmodvsdir
StepHypRef Expression
1 lmodvsdir.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lmodvsdir.a . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 lmodvsdir.s . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4 lmodvsdir.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 lmodvsdir.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
6 lmodvsdir.p . . . . . . . 8 ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
7 eqid 2177 . . . . . . . 8 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
8 eqid 2177 . . . . . . . 8 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodlema 13387 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋))) ∧ (((𝑄(.rβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (𝑄 Β· (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)))
109simpld 112 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋))))
1110simp3d 1011 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋)))
12113expa 1203 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋)))
1312anabsan2 584 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋)))
1413exp42 371 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑄 ∈ 𝐾 β†’ (𝑅 ∈ 𝐾 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋))))))
15143imp2 1222 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑄 ⨣ 𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑄 Β· 𝑋) + (𝑅 Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  .rcmulr 12539  Scalarcsca 12541   ·𝑠 cvsca 12542  1rcur 13147  LModclmod 13382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-lmod 13384
This theorem is referenced by:  lmod0vs  13416  lmodvsmmulgdi  13418  lmodvneg1  13425  lmodcom  13428  lmodsubdir  13440  islss3  13471  lss1d  13475
  Copyright terms: Public domain W3C validator