Theorem lmodvsdir 14284

Description: Distributive law for scalar product (right-distributivity). (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsdir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsdir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lmodvsdir.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsdir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsdir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsdir	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvsdir.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lmodvsdir.a	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lmodvsdir.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		lmodvsdir.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodvsdir.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		lmodvsdir.p	. . . . . . . 8 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
7		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
8		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lmodlema 14264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑄(.r‘𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
10	9	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))
11	10	simp3d 1035	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
12	11	3expa 1227	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
13	12	anabsan2 584	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))
14	13	exp42 371	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑄 ∈ 𝐾 → (𝑅 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))))
15	14	3imp2 1246	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑄 ⨣ 𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  ._rcmulr 13119  Scalarcsca 13121   ·_𝑠 cvsca 13122  1_rcur 13930  LModclmod 14259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-lmod 14261

This theorem is referenced by:  lmod0vs  14293  lmodvsmmulgdi  14295  lmodvneg1  14302  lmodcom  14305  lmodsubdir  14317  islss3  14351  lss1d  14355