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Theorem lmodvsmmulgdi 14281
Description: Distributive law for a group multiple of a scalar multiplication. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmmulgdi.v |- V = ( Base ` W )
lmodvsmmulgdi.f |- F = (Scalar ` W )
lmodvsmmulgdi.s |- .x. = ( .s ` W )
lmodvsmmulgdi.k |- K = ( Base ` F )
lmodvsmmulgdi.p |- .^ = (.g ` W )
lmodvsmmulgdi.e |- E = (.g ` F )
Assertion
Ref Expression
lmodvsmmulgdi |- ( ( W e. LMod /\ ( C e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) )
Proof of Theorem lmodvsmmulgdi
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6007 . . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( 0 .^ ( C .x. X ) ) )
2 oveq1 6007 . . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( x E C ) = ( 0 E C ) )
32oveq1d 6015 . . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) )
41, 3eqeq12d 2244 . . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) ) )
54imbi2d 230 . . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) ) ) )
6 oveq1 6007 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( y .^ ( C .x. X ) ) )
7 oveq1 6007 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x E C ) = ( y E C ) )
87oveq1d 6015 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( y E C ) .x. X ) )
96, 8eqeq12d 2244 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) )
109imbi2d 230 . . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) ) )
11 oveq1 6007 . . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) )
12 oveq1 6007 . . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x E C ) = ( ( y + 1 ) E C ) )
1312oveq1d 6015 . . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
1411, 13eqeq12d 2244 . . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) )
1514imbi2d 230 . . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) ) )
16 oveq1 6007 . . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( N .^ ( C .x. X ) ) )
17 oveq1 6007 . . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( x E C ) = ( N E C ) )
1817oveq1d 6015 . . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( N E C ) .x. X ) )
1916, 18eqeq12d 2244 . . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) )
2019imbi2d 230 . . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) ) )
21 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> W e. LMod )
22 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. K /\ X e. V ) -> X e. V )
2322adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> X e. V )
24 lmodvsmmulgdi.v . . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
25 lmodvsmmulgdi.f . . . . . . . 8 |- F = (Scalar ` W )
26 lmodvsmmulgdi.s . . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` W )
27 eqid 2229 . . . . . . . 8 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
28 eqid 2229 . . . . . . . 8 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
2924, 25, 26, 27, 28lmod0vs 14279 . . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 0g ` F ) .x. X ) = ( 0g ` W ) )
3021, 23, 29syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( 0g ` F ) .x. X ) = ( 0g ` W ) )
31 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. K /\ X e. V ) -> C e. K )
3231adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> C e. K )
33 lmodvsmmulgdi.k . . . . . . . . 9 |- K = ( Base ` F )
34 lmodvsmmulgdi.e . . . . . . . . 9 |- E = (.g ` F )
3533, 27, 34mulg0 13657 . . . . . . . 8 |- ( C e. K -> ( 0 E C ) = ( 0g ` F ) )
3632, 35syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 E C ) = ( 0g ` F ) )
3736oveq1d 6015 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( 0 E C ) .x. X ) = ( ( 0g ` F ) .x. X ) )
3824, 25, 26, 33lmodvscl 14263 . . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ C e. K /\ X e. V ) -> ( C .x. X ) e. V )
3921, 32, 23, 38syl3anc 1271 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( C .x. X ) e. V )
40 lmodvsmmulgdi.p . . . . . . . 8 |- .^ = (.g ` W )
4124, 28, 40mulg0 13657 . . . . . . 7 |- ( ( C .x. X ) e. V -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( 0g ` W ) )
4239, 41syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( 0g ` W ) )
4330, 37, 423eqtr4rd 2273 . . . . 5 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) )
44 lmodgrp 14252 . . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
4544grpmndd 13541 . . . . . . . . . . 11 |- ( W e. LMod -> W e. Mnd )
4645ad2antll 491 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> W e. Mnd )
47 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> y e. NN0 )
4839adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( C .x. X ) e. V )
49 eqid 2229 . . . . . . . . . . 11 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5024, 40, 49mulgnn0p1 13665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( C .x. X ) e. V ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
5146, 47, 48, 50syl3anc 1271 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
5251adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
53 oveq1 6007 . . . . . . . . 9 |- ( ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) -> ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) = ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
5421adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> W e. LMod )
5525lmodring 14253 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
56 ringmnd 13964 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. Ring -> F e. Mnd )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LMod -> F e. Mnd )
5857ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> F e. Mnd )
59 simprll 537 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> C e. K )
6033, 34, 58, 47, 59mulgnn0cld 13675 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( y E C ) e. K )
6123adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> X e. V )
62 eqid 2229 . . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
6324, 49, 25, 26, 33, 62lmodvsdir 14270 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y E C ) e. K /\ C e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) .x. X ) = ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
6454, 60, 59, 61, 63syl13anc 1273 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) .x. X ) = ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
6533, 34, 62mulgnn0p1 13665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. Mnd /\ y e. NN0 /\ C e. K ) -> ( ( y + 1 ) E C ) = ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) )
6658, 47, 59, 65syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y + 1 ) E C ) = ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) )
6766eqcomd 2235 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) = ( ( y + 1 ) E C ) )
6867oveq1d 6015 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) .x. X ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
6964, 68eqtr3d 2264 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
7053, 69sylan9eqr 2284 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
7152, 70eqtrd 2262 . . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
7271exp31 364 . . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) ) )
7372a2d 26 . . . . 5 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) ) )
745, 10, 15, 20, 43, 73nn0ind 9557 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) )
7574exp4c 368 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( C e. K -> ( X e. V -> ( W e. LMod -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) ) ) )
76753imp21 1222 . 2 |- ( ( C e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) -> ( W e. LMod -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) )
7776impcom 125 1 |- ( ( W e. LMod /\ ( C e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   NN0cn0 9365   Basecbs 13027   +g cplusg 13105  Scalarcsca 13108   .scvsca 13109   0gc0g 13284   Mndcmnd 13444  .gcmg 13651   Ringcrg 13954   LModclmod 14245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-seqfrec 10665  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-mulg 13652  df-ring 13956  df-lmod 14247
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