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Theorem lmodvsmmulgdi 14160
Description: Distributive law for a group multiple of a scalar multiplication. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmmulgdi.v |- V = ( Base ` W )
lmodvsmmulgdi.f |- F = (Scalar ` W )
lmodvsmmulgdi.s |- .x. = ( .s ` W )
lmodvsmmulgdi.k |- K = ( Base ` F )
lmodvsmmulgdi.p |- .^ = (.g ` W )
lmodvsmmulgdi.e |- E = (.g ` F )
Assertion
Ref Expression
lmodvsmmulgdi |- ( ( W e. LMod /\ ( C e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) )
Proof of Theorem lmodvsmmulgdi
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5964 . . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( 0 .^ ( C .x. X ) ) )
2 oveq1 5964 . . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( x E C ) = ( 0 E C ) )
32oveq1d 5972 . . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) )
41, 3eqeq12d 2221 . . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) ) )
54imbi2d 230 . . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) ) ) )
6 oveq1 5964 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( y .^ ( C .x. X ) ) )
7 oveq1 5964 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x E C ) = ( y E C ) )
87oveq1d 5972 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( y E C ) .x. X ) )
96, 8eqeq12d 2221 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) )
109imbi2d 230 . . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) ) )
11 oveq1 5964 . . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) )
12 oveq1 5964 . . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x E C ) = ( ( y + 1 ) E C ) )
1312oveq1d 5972 . . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
1411, 13eqeq12d 2221 . . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) )
1514imbi2d 230 . . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) ) )
16 oveq1 5964 . . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( N .^ ( C .x. X ) ) )
17 oveq1 5964 . . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( x E C ) = ( N E C ) )
1817oveq1d 5972 . . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( N E C ) .x. X ) )
1916, 18eqeq12d 2221 . . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) )
2019imbi2d 230 . . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) ) )
21 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> W e. LMod )
22 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. K /\ X e. V ) -> X e. V )
2322adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> X e. V )
24 lmodvsmmulgdi.v . . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
25 lmodvsmmulgdi.f . . . . . . . 8 |- F = (Scalar ` W )
26 lmodvsmmulgdi.s . . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` W )
27 eqid 2206 . . . . . . . 8 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
28 eqid 2206 . . . . . . . 8 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
2924, 25, 26, 27, 28lmod0vs 14158 . . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 0g ` F ) .x. X ) = ( 0g ` W ) )
3021, 23, 29syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( 0g ` F ) .x. X ) = ( 0g ` W ) )
31 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. K /\ X e. V ) -> C e. K )
3231adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> C e. K )
33 lmodvsmmulgdi.k . . . . . . . . 9 |- K = ( Base ` F )
34 lmodvsmmulgdi.e . . . . . . . . 9 |- E = (.g ` F )
3533, 27, 34mulg0 13536 . . . . . . . 8 |- ( C e. K -> ( 0 E C ) = ( 0g ` F ) )
3632, 35syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 E C ) = ( 0g ` F ) )
3736oveq1d 5972 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( 0 E C ) .x. X ) = ( ( 0g ` F ) .x. X ) )
3824, 25, 26, 33lmodvscl 14142 . . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ C e. K /\ X e. V ) -> ( C .x. X ) e. V )
3921, 32, 23, 38syl3anc 1250 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( C .x. X ) e. V )
40 lmodvsmmulgdi.p . . . . . . . 8 |- .^ = (.g ` W )
4124, 28, 40mulg0 13536 . . . . . . 7 |- ( ( C .x. X ) e. V -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( 0g ` W ) )
4239, 41syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( 0g ` W ) )
4330, 37, 423eqtr4rd 2250 . . . . 5 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) )
44 lmodgrp 14131 . . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
4544grpmndd 13420 . . . . . . . . . . 11 |- ( W e. LMod -> W e. Mnd )
4645ad2antll 491 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> W e. Mnd )
47 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> y e. NN0 )
4839adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( C .x. X ) e. V )
49 eqid 2206 . . . . . . . . . . 11 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5024, 40, 49mulgnn0p1 13544 . . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( C .x. X ) e. V ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
5146, 47, 48, 50syl3anc 1250 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
5251adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
53 oveq1 5964 . . . . . . . . 9 |- ( ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) -> ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) = ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
5421adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> W e. LMod )
5525lmodring 14132 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
56 ringmnd 13843 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. Ring -> F e. Mnd )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LMod -> F e. Mnd )
5857ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> F e. Mnd )
59 simprll 537 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> C e. K )
6033, 34, 58, 47, 59mulgnn0cld 13554 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( y E C ) e. K )
6123adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> X e. V )
62 eqid 2206 . . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
6324, 49, 25, 26, 33, 62lmodvsdir 14149 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y E C ) e. K /\ C e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) .x. X ) = ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
6454, 60, 59, 61, 63syl13anc 1252 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) .x. X ) = ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
6533, 34, 62mulgnn0p1 13544 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. Mnd /\ y e. NN0 /\ C e. K ) -> ( ( y + 1 ) E C ) = ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) )
6658, 47, 59, 65syl3anc 1250 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y + 1 ) E C ) = ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) )
6766eqcomd 2212 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) = ( ( y + 1 ) E C ) )
6867oveq1d 5972 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) .x. X ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
6964, 68eqtr3d 2241 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
7053, 69sylan9eqr 2261 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
7152, 70eqtrd 2239 . . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
7271exp31 364 . . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) ) )
7372a2d 26 . . . . 5 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) ) )
745, 10, 15, 20, 43, 73nn0ind 9507 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) )
7574exp4c 368 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( C e. K -> ( X e. V -> ( W e. LMod -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) ) ) )
76753imp21 1201 . 2 |- ( ( C e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) -> ( W e. LMod -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) )
7776impcom 125 1 |- ( ( W e. LMod /\ ( C e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   0cc0 7945   1c1 7946   + caddc 7948   NN0cn0 9315   Basecbs 12907   +g cplusg 12984  Scalarcsca 12987   .scvsca 12988   0gc0g 13163   Mndcmnd 13323  .gcmg 13530   Ringcrg 13833   LModclmod 14124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-seqfrec 10615  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-mulg 13531  df-ring 13835  df-lmod 14126
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