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Theorem lmodvsmmulgdi 13955
Description: Distributive law for a group multiple of a scalar multiplication. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmmulgdi.v |- V = ( Base ` W )
lmodvsmmulgdi.f |- F = (Scalar ` W )
lmodvsmmulgdi.s |- .x. = ( .s ` W )
lmodvsmmulgdi.k |- K = ( Base ` F )
lmodvsmmulgdi.p |- .^ = (.g ` W )
lmodvsmmulgdi.e |- E = (.g ` F )
Assertion
Ref Expression
lmodvsmmulgdi |- ( ( W e. LMod /\ ( C e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) )
Proof of Theorem lmodvsmmulgdi
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5932 . . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( 0 .^ ( C .x. X ) ) )
2 oveq1 5932 . . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( x E C ) = ( 0 E C ) )
32oveq1d 5940 . . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) )
41, 3eqeq12d 2211 . . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) ) )
54imbi2d 230 . . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) ) ) )
6 oveq1 5932 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( y .^ ( C .x. X ) ) )
7 oveq1 5932 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x E C ) = ( y E C ) )
87oveq1d 5940 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( y E C ) .x. X ) )
96, 8eqeq12d 2211 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) )
109imbi2d 230 . . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) ) )
11 oveq1 5932 . . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) )
12 oveq1 5932 . . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x E C ) = ( ( y + 1 ) E C ) )
1312oveq1d 5940 . . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
1411, 13eqeq12d 2211 . . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) )
1514imbi2d 230 . . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) ) )
16 oveq1 5932 . . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( N .^ ( C .x. X ) ) )
17 oveq1 5932 . . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( x E C ) = ( N E C ) )
1817oveq1d 5940 . . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( x E C ) .x. X ) = ( ( N E C ) .x. X ) )
1916, 18eqeq12d 2211 . . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) <-> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) )
2019imbi2d 230 . . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( x .^ ( C .x. X ) ) = ( ( x E C ) .x. X ) ) <-> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) ) )
21 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> W e. LMod )
22 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. K /\ X e. V ) -> X e. V )
2322adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> X e. V )
24 lmodvsmmulgdi.v . . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
25 lmodvsmmulgdi.f . . . . . . . 8 |- F = (Scalar ` W )
26 lmodvsmmulgdi.s . . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` W )
27 eqid 2196 . . . . . . . 8 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
28 eqid 2196 . . . . . . . 8 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
2924, 25, 26, 27, 28lmod0vs 13953 . . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( 0g ` F ) .x. X ) = ( 0g ` W ) )
3021, 23, 29syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( 0g ` F ) .x. X ) = ( 0g ` W ) )
31 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. K /\ X e. V ) -> C e. K )
3231adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> C e. K )
33 lmodvsmmulgdi.k . . . . . . . . 9 |- K = ( Base ` F )
34 lmodvsmmulgdi.e . . . . . . . . 9 |- E = (.g ` F )
3533, 27, 34mulg0 13331 . . . . . . . 8 |- ( C e. K -> ( 0 E C ) = ( 0g ` F ) )
3632, 35syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 E C ) = ( 0g ` F ) )
3736oveq1d 5940 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( 0 E C ) .x. X ) = ( ( 0g ` F ) .x. X ) )
3824, 25, 26, 33lmodvscl 13937 . . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ C e. K /\ X e. V ) -> ( C .x. X ) e. V )
3921, 32, 23, 38syl3anc 1249 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( C .x. X ) e. V )
40 lmodvsmmulgdi.p . . . . . . . 8 |- .^ = (.g ` W )
4124, 28, 40mulg0 13331 . . . . . . 7 |- ( ( C .x. X ) e. V -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( 0g ` W ) )
4239, 41syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( 0g ` W ) )
4330, 37, 423eqtr4rd 2240 . . . . 5 |- ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( 0 .^ ( C .x. X ) ) = ( ( 0 E C ) .x. X ) )
44 lmodgrp 13926 . . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
4544grpmndd 13215 . . . . . . . . . . 11 |- ( W e. LMod -> W e. Mnd )
4645ad2antll 491 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> W e. Mnd )
47 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> y e. NN0 )
4839adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( C .x. X ) e. V )
49 eqid 2196 . . . . . . . . . . 11 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
5024, 40, 49mulgnn0p1 13339 . . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Mnd /\ y e. NN0 /\ ( C .x. X ) e. V ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
5146, 47, 48, 50syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
5251adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
53 oveq1 5932 . . . . . . . . 9 |- ( ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) -> ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) = ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
5421adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> W e. LMod )
5525lmodring 13927 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. LMod -> F e. Ring )
56 ringmnd 13638 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. Ring -> F e. Mnd )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LMod -> F e. Mnd )
5857ad2antll 491 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> F e. Mnd )
59 simprll 537 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> C e. K )
6033, 34, 58, 47, 59mulgnn0cld 13349 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( y E C ) e. K )
6123adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> X e. V )
62 eqid 2196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
6324, 49, 25, 26, 33, 62lmodvsdir 13944 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( y E C ) e. K /\ C e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) .x. X ) = ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
6454, 60, 59, 61, 63syl13anc 1251 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) .x. X ) = ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) )
6533, 34, 62mulgnn0p1 13339 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. Mnd /\ y e. NN0 /\ C e. K ) -> ( ( y + 1 ) E C ) = ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) )
6658, 47, 59, 65syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y + 1 ) E C ) = ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) )
6766eqcomd 2202 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) = ( ( y + 1 ) E C ) )
6867oveq1d 5940 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E C ) ( +g ` F ) C ) .x. X ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
6964, 68eqtr3d 2231 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) -> ( ( ( y E C ) .x. X ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
7053, 69sylan9eqr 2251 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( y .^ ( C .x. X ) ) ( +g ` W ) ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
7152, 70eqtrd 2229 . . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN0 /\ ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) ) /\ ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) )
7271exp31 364 . . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) ) )
7372a2d 26 . . . . 5 |- ( y e. NN0 -> ( ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( y .^ ( C .x. X ) ) = ( ( y E C ) .x. X ) ) -> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( ( y + 1 ) .^ ( C .x. X ) ) = ( ( ( y + 1 ) E C ) .x. X ) ) ) )
745, 10, 15, 20, 43, 73nn0ind 9457 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( C e. K /\ X e. V ) /\ W e. LMod ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) )
7574exp4c 368 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( C e. K -> ( X e. V -> ( W e. LMod -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) ) ) )
76753imp21 1200 . 2 |- ( ( C e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) -> ( W e. LMod -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) ) )
7776impcom 125 1 |- ( ( W e. LMod /\ ( C e. K /\ N e. NN0 /\ X e. V ) ) -> ( N .^ ( C .x. X ) ) = ( ( N E C ) .x. X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   NN0cn0 9266   Basecbs 12703   +g cplusg 12780  Scalarcsca 12783   .scvsca 12784   0gc0g 12958   Mndcmnd 13118  .gcmg 13325   Ringcrg 13628   LModclmod 13919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-mulg 13326  df-ring 13630  df-lmod 13921
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