Theorem lspsneq0 14303

Description: Span of the singleton is the zero subspace iff the vector is zero. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq0.v	|- V = ( Base ` W )
lspsneq0.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lspsneq0.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsneq0	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> X = .0. ) )

Proof of Theorem lspsneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq0.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
2		lspsneq0.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
3	1, 2	lspsnid 14284	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
4		eleq2 2271	. . . 4 |- ( ( N ` { X } ) = { .0. } -> ( X e. ( N ` { X } ) <-> X e. { .0. } ) )
5	3, 4	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } -> X e. { .0. } ) )
6		elsni 3661	. . 3 |- ( X e. { .0. } -> X = .0. )
7	5, 6	syl6 33	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } -> X = .0. ) )
8		lspsneq0.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` W )
9	8, 2	lspsn0 14299	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
10	9	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
11		sneq 3654	. . . 4 |- ( X = .0. -> { X } = { .0. } )
12	11	fveqeq2d 5607	. . 3 |- ( X = .0. -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> ( N ` { .0. } ) = { .0. } ) )
13	10, 12	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X = .0. -> ( N ` { X } ) = { .0. } ) )
14	7, 13	impbid 129	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> X = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   {csn 3643   ` cfv 5290   Basecbs 12947   0gc0g 13203   LModclmod 14164   LSpanclspn 14263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-mgp 13798  df-ring 13875  df-lmod 14166  df-lssm 14230  df-lsp 14264

This theorem is referenced by:  lspsneq0b  14304