Theorem lspsneq0 13739

Description: Span of the singleton is the zero subspace iff the vector is zero. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsneq0.v	|- V = ( Base ` W )
lspsneq0.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lspsneq0.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsneq0	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> X = .0. ) )

Proof of Theorem lspsneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsneq0.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
2		lspsneq0.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
3	1, 2	lspsnid 13720	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
4		eleq2 2253	. . . 4 |- ( ( N ` { X } ) = { .0. } -> ( X e. ( N ` { X } ) <-> X e. { .0. } ) )
5	3, 4	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } -> X e. { .0. } ) )
6		elsni 3625	. . 3 |- ( X e. { .0. } -> X = .0. )
7	5, 6	syl6 33	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } -> X = .0. ) )
8		lspsneq0.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` W )
9	8, 2	lspsn0 13735	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
10	9	adantr 276	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
11		sneq 3618	. . . 4 |- ( X = .0. -> { X } = { .0. } )
12	11	fveqeq2d 5542	. . 3 |- ( X = .0. -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> ( N ` { .0. } ) = { .0. } ) )
13	10, 12	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X = .0. -> ( N ` { X } ) = { .0. } ) )
14	7, 13	impbid 129	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( N ` { X } ) = { .0. } <-> X = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   {csn 3607   ` cfv 5235   Basecbs 12511   0gc0g 12758   LModclmod 13600   LSpanclspn 13699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltadd 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-ltxr 8026  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-sets 12518  df-plusg 12599  df-mulr 12600  df-sca 12602  df-vsca 12603  df-0g 12760  df-mgm 12829  df-sgrp 12862  df-mnd 12875  df-grp 12945  df-mgp 13272  df-ring 13349  df-lmod 13602  df-lssm 13666  df-lsp 13700

This theorem is referenced by:  lspsneq0b  13740