Theorem lspssid 14237

Description: A set of vectors is a subset of its span. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	|- V = ( Base ` W )
lspss.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspssid	|- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U C_ ( N ` U ) )

Proof of Theorem lspssid

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 3909	. 2 |- U C_ |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | U C_ t }
2		lspss.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		eqid 2206	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
4		lspss.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
5	2, 3, 4	lspval 14227	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) = |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | U C_ t } )
6	1, 5	sseqtrrid 3248	1 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U C_ ( N ` U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   {crab 2489   C_ wss 3170   |^|cint 3891   ` cfv 5280   Basecbs 12907   LModclmod 14124   LSubSpclss 14189   LSpanclspn 14223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-lmod 14126  df-lssm 14190  df-lsp 14224

This theorem is referenced by:  lspun  14239  lspsnid  14244  lsslsp  14266  rspssid  14329