Theorem lspsneli 14018

Description: A scalar product with a vector belongs to the span of its singleton. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnvsel.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnvsel.t	|- .x. = ( .s ` W )
lspsnvsel.f	|- F = (Scalar ` W )
lspsnvsel.k	|- K = ( Base ` F )
lspsnvsel.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspsnvsel.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lspsnvsel.a	|- ( ph -> A e. K )
lspsnvsel.x	|- ( ph -> X e. V )

Assertion

Ref	Expression
lspsneli	|- ( ph -> ( A .x. X ) e. ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnvsel.w	. 2 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lspsnvsel.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
3		lspsnvsel.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		eqid 2196	. . . 4 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
5		lspsnvsel.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
6	3, 4, 5	lspsncl 13995	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
7	1, 2, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
8		lspsnvsel.a	. 2 |- ( ph -> A e. K )
9	3, 5	lspsnid 14010	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )
10	1, 2, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> X e. ( N ` { X } ) )
11		lspsnvsel.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
12		lspsnvsel.t	. . 3 |- .x. = ( .s ` W )
13		lspsnvsel.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
14	11, 12, 13, 4	lssvscl 13978	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) ) /\ ( A e. K /\ X e. ( N ` { X } ) ) ) -> ( A .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
15	1, 7, 8, 10, 14	syl22anc 1250	1 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. ( N ` { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   {csn 3623   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12691  Scalarcsca 12771   .scvsca 12772   LModclmod 13890   LSubSpclss 13955   LSpanclspn 13989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7975  ax-resscn 7976  ax-1cn 7977  ax-1re 7978  ax-icn 7979  ax-addcl 7980  ax-addrcl 7981  ax-mulcl 7982  ax-addcom 7984  ax-addass 7986  ax-i2m1 7989  ax-0lt1 7990  ax-0id 7992  ax-rnegex 7993  ax-pre-ltirr 7996  ax-pre-ltadd 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6202  df-2nd 6203  df-pnf 8068  df-mnf 8069  df-ltxr 8071  df-inn 8996  df-2 9054  df-3 9055  df-4 9056  df-5 9057  df-6 9058  df-ndx 12694  df-slot 12695  df-base 12697  df-sets 12698  df-plusg 12781  df-mulr 12782  df-sca 12784  df-vsca 12785  df-0g 12948  df-mgm 13046  df-sgrp 13092  df-mnd 13105  df-grp 13182  df-minusg 13183  df-sbg 13184  df-mgp 13524  df-ur 13563  df-ring 13601  df-lmod 13892  df-lssm 13956  df-lsp 13990

This theorem is referenced by:  lspsnvsi  14021