Theorem lspss 13895

Description: Span preserves subset ordering. (Contributed by NM, 11-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	|- V = ( Base ` W )
lspss.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspss	|- ( ( W e. LMod /\ U C_ V /\ T C_ U ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` U ) )

Proof of Theorem lspss

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1004	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U C_ V /\ T C_ U ) /\ t e. ( LSubSp ` W ) ) -> T C_ U )
2		sstr2 3186	. . . . 5 |- ( T C_ U -> ( U C_ t -> T C_ t ) )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U C_ V /\ T C_ U ) /\ t e. ( LSubSp ` W ) ) -> ( U C_ t -> T C_ t ) )
4	3	ss2rabdv 3260	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V /\ T C_ U ) -> { t e. ( LSubSp ` W ) | U C_ t } C_ { t e. ( LSubSp ` W ) | T C_ t } )
5		intss 3891	. . 3 |- ( { t e. ( LSubSp ` W ) | U C_ t } C_ { t e. ( LSubSp ` W ) | T C_ t } -> |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | T C_ t } C_ |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | U C_ t } )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V /\ T C_ U ) -> |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | T C_ t } C_ |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | U C_ t } )
7		simp1 999	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V /\ T C_ U ) -> W e. LMod )
8		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V /\ T C_ U ) -> T C_ U )
9		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V /\ T C_ U ) -> U C_ V )
10	8, 9	sstrd 3189	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V /\ T C_ U ) -> T C_ V )
11		lspss.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
12		eqid 2193	. . . 4 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
13		lspss.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
14	11, 12, 13	lspval 13886	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V ) -> ( N ` T ) = |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | T C_ t } )
15	7, 10, 14	syl2anc 411	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V /\ T C_ U ) -> ( N ` T ) = |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | T C_ t } )
16	11, 12, 13	lspval 13886	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) = |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | U C_ t } )
17	16	3adant3 1019	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V /\ T C_ U ) -> ( N ` U ) = |^| { t e. ( LSubSp ` W ) | U C_ t } )
18	6, 15, 17	3sstr4d 3224	1 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V /\ T C_ U ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   C_ wss 3153   |^|cint 3870   ` cfv 5254   Basecbs 12618   LModclmod 13783   LSubSpclss 13848   LSpanclspn 13882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-lsp 13883

This theorem is referenced by:  lspun  13898  lspssp  13899  lspprid1  13907