Theorem rspssid 14588

Description: The span of a set of ring elements contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	|- K = (RSpan ` R )
rspcl.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
rspssid	|- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( K ` G ) )

Proof of Theorem rspssid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14560	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
2		rspcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
3		rlmbasg 14551	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
4	2, 3	eqtrid 2276	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
5	4	sseq2d 3258	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( G C_ B <-> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) )
6	5	biimpa 296	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
7		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` (ringLMod ` R ) ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) )
8		eqid 2231	. . . 4 |- ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) )
9	7, 8	lspssid 14496	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) -> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
10	1, 6, 9	syl2an2r 599	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
11		rspcl.k	. . . . . 6 |- K = (RSpan ` R )
12		rspvalg 14568	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (RSpan ` R ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
13	11, 12	eqtrid 2276	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> K = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
14	13	fveq1d 5650	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( K ` G ) = ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
15	14	sseq2d 3258	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( G C_ ( K ` G ) <-> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) ) )
16	15	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( G C_ ( K ` G ) <-> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) ) )
17	10, 16	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( K ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   C_ wss 3201   ` cfv 5333   Basecbs 13162   Ringcrg 14090   LModclmod 14383   LSpanclspn 14482  ringLModcrglmod 14530  RSpancrsp 14564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-iress 13170  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-sca 13256  df-vsca 13257  df-ip 13258  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-subg 13837  df-mgp 14015  df-ur 14054  df-ring 14092  df-subrg 14314  df-lmod 14385  df-lssm 14449  df-lsp 14483  df-sra 14531  df-rgmod 14532  df-rsp 14566

This theorem is referenced by: (None)