Theorem rspssid 13833

Description: The span of a set of ring elements contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	|- K = (RSpan ` R )
rspcl.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
rspssid	|- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( K ` G ) )

Proof of Theorem rspssid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 13805	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
2		rspcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
3		rlmbasg 13796	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
4	2, 3	eqtrid 2234	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
5	4	sseq2d 3200	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( G C_ B <-> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) )
6	5	biimpa 296	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
7		eqid 2189	. . . 4 |- ( Base ` (ringLMod ` R ) ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) )
8		eqid 2189	. . . 4 |- ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) )
9	7, 8	lspssid 13741	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) -> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
10	1, 6, 9	syl2an2r 595	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
11		rspcl.k	. . . . . 6 |- K = (RSpan ` R )
12		rspvalg 13813	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (RSpan ` R ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
13	11, 12	eqtrid 2234	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> K = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
14	13	fveq1d 5539	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( K ` G ) = ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
15	14	sseq2d 3200	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( G C_ ( K ` G ) <-> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) ) )
16	15	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( G C_ ( K ` G ) <-> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) ) )
17	10, 16	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( K ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144   ` cfv 5238   Basecbs 12523   Ringcrg 13375   LModclmod 13628   LSpanclspn 13727  ringLModcrglmod 13775  RSpancrsp 13809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-7 9018  df-8 9019  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-iress 12531  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-sca 12616  df-vsca 12617  df-ip 12618  df-0g 12774  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-grp 12971  df-minusg 12972  df-subg 13134  df-mgp 13300  df-ur 13339  df-ring 13377  df-subrg 13591  df-lmod 13630  df-lssm 13694  df-lsp 13728  df-sra 13776  df-rgmod 13777  df-rsp 13811

This theorem is referenced by: (None)