Theorem rspssid 13972

Description: The span of a set of ring elements contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	|- K = (RSpan ` R )
rspcl.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
rspssid	|- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( K ` G ) )

Proof of Theorem rspssid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 13944	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
2		rspcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
3		rlmbasg 13935	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
4	2, 3	eqtrid 2238	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
5	4	sseq2d 3209	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( G C_ B <-> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) )
6	5	biimpa 296	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
7		eqid 2193	. . . 4 |- ( Base ` (ringLMod ` R ) ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) )
8		eqid 2193	. . . 4 |- ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) )
9	7, 8	lspssid 13880	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) -> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
10	1, 6, 9	syl2an2r 595	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
11		rspcl.k	. . . . . 6 |- K = (RSpan ` R )
12		rspvalg 13952	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (RSpan ` R ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
13	11, 12	eqtrid 2238	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> K = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
14	13	fveq1d 5548	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( K ` G ) = ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
15	14	sseq2d 3209	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( G C_ ( K ` G ) <-> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) ) )
16	15	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( G C_ ( K ` G ) <-> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) ) )
17	10, 16	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( K ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3153   ` cfv 5246   Basecbs 12608   Ringcrg 13476   LModclmod 13767   LSpanclspn 13866  ringLModcrglmod 13914  RSpancrsp 13948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-ltxr 8049  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-7 9036  df-8 9037  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-iress 12616  df-plusg 12698  df-mulr 12699  df-sca 12701  df-vsca 12702  df-ip 12703  df-0g 12859  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-grp 13065  df-minusg 13066  df-subg 13229  df-mgp 13401  df-ur 13440  df-ring 13478  df-subrg 13699  df-lmod 13769  df-lssm 13833  df-lsp 13867  df-sra 13915  df-rgmod 13916  df-rsp 13950

This theorem is referenced by: (None)