Theorem rspssid 14126

Description: The span of a set of ring elements contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	|- K = (RSpan ` R )
rspcl.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
rspssid	|- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( K ` G ) )

Proof of Theorem rspssid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14098	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
2		rspcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
3		rlmbasg 14089	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
4	2, 3	eqtrid 2241	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
5	4	sseq2d 3214	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( G C_ B <-> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) )
6	5	biimpa 296	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
7		eqid 2196	. . . 4 |- ( Base ` (ringLMod ` R ) ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) )
8		eqid 2196	. . . 4 |- ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) )
9	7, 8	lspssid 14034	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) -> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
10	1, 6, 9	syl2an2r 595	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
11		rspcl.k	. . . . . 6 |- K = (RSpan ` R )
12		rspvalg 14106	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (RSpan ` R ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
13	11, 12	eqtrid 2241	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> K = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
14	13	fveq1d 5563	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( K ` G ) = ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
15	14	sseq2d 3214	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( G C_ ( K ` G ) <-> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) ) )
16	15	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( G C_ ( K ` G ) <-> G C_ ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) ) )
17	10, 16	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( K ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ` cfv 5259   Basecbs 12705   Ringcrg 13630   LModclmod 13921   LSpanclspn 14020  ringLModcrglmod 14068  RSpancrsp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-iress 12713  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-ip 12800  df-0g 12962  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-grp 13207  df-minusg 13208  df-subg 13378  df-mgp 13555  df-ur 13594  df-ring 13632  df-subrg 13853  df-lmod 13923  df-lssm 13987  df-lsp 14021  df-sra 14069  df-rgmod 14070  df-rsp 14104

This theorem is referenced by: (None)