ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspssid GIF version

Theorem lspssid 13677
Description: A set of vectors is a subset of its span. (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspss.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspssid ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))

Proof of Theorem lspssid
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 3877 . 2 π‘ˆ βŠ† ∩ {𝑑 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑}
2 lspss.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 eqid 2189 . . 3 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4 lspss.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
52, 3, 4lspval 13667 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
61, 5sseqtrrid 3221 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {crab 2472   βŠ† wss 3144  βˆ© cint 3859  β€˜cfv 5231  Basecbs 12480  LModclmod 13564  LSubSpclss 13629  LSpanclspn 13663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1re 7923  ax-addrcl 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-plusg 12568  df-mulr 12569  df-sca 12571  df-vsca 12572  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-grp 12914  df-lmod 13566  df-lssm 13630  df-lsp 13664
This theorem is referenced by:  lspun  13679  lspsnid  13684  lsslsp  13706  rspssid  13769
  Copyright terms: Public domain W3C validator