Theorem lspun 14711

Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	|- V = ( Base ` W )
lspss.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspun	|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) = ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )

Proof of Theorem lspun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> W e. LMod )
2		simp2 1029	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ V )
3		simp3 1030	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> U C_ V )
4	2, 3	unssd 3405	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( T u. U ) C_ V )
5		ssun1 3392	. . . . . . 7 |- T C_ ( T u. U )
6	5	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ ( T u. U ) )
7		lspss.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
8		lspss.n	. . . . . . 7 |- N = ( LSpan ` W )
9	7, 8	lspss 14708	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V /\ T C_ ( T u. U ) ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
10	1, 4, 6, 9	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
11		ssun2 3393	. . . . . . 7 |- U C_ ( T u. U )
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> U C_ ( T u. U ) )
13	7, 8	lspss 14708	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V /\ U C_ ( T u. U ) ) -> ( N ` U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
14	1, 4, 12, 13	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
15	10, 14	unssd 3405	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
16	7, 8	lspssv 14707	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ V )
17	1, 4, 16	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ V )
18	15, 17	sstrd 3258	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ V )
19	7, 8	lspssid 14709	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V ) -> T C_ ( N ` T ) )
20	1, 2, 19	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ ( N ` T ) )
21	7, 8	lspssid 14709	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U C_ ( N ` U ) )
22		unss12 3401	. . . 4 |- ( ( T C_ ( N ` T ) /\ U C_ ( N ` U ) ) -> ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) )
23	20, 21, 22	3imp3i2an 1214	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) )
24	7, 8	lspss 14708	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ V /\ ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
25	1, 18, 23, 24	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
26	7, 8	lspss 14708	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( T u. U ) ) C_ V /\ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) )
27	1, 17, 15, 26	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) )
28	7, 8	lspidm 14710	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V ) -> ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) = ( N ` ( T u. U ) ) )
29	1, 4, 28	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) = ( N ` ( T u. U ) ) )
30	27, 29	sseqtrd 3286	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
31	25, 30	eqssd 3265	1 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) = ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   C_ wss 3220   ` cfv 5372   Basecbs 13330   LModclmod 14596   LSpanclspn 14695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-sbg 13787  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-lmod 14598  df-lssm 14662  df-lsp 14696

This theorem is referenced by:  lspun0  14734