Theorem lspun 14374

Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	|- V = ( Base ` W )
lspss.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspun	|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) = ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )

Proof of Theorem lspun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> W e. LMod )
2		simp2 1022	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ V )
3		simp3 1023	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> U C_ V )
4	2, 3	unssd 3380	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( T u. U ) C_ V )
5		ssun1 3367	. . . . . . 7 |- T C_ ( T u. U )
6	5	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ ( T u. U ) )
7		lspss.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
8		lspss.n	. . . . . . 7 |- N = ( LSpan ` W )
9	7, 8	lspss 14371	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V /\ T C_ ( T u. U ) ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
10	1, 4, 6, 9	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
11		ssun2 3368	. . . . . . 7 |- U C_ ( T u. U )
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> U C_ ( T u. U ) )
13	7, 8	lspss 14371	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V /\ U C_ ( T u. U ) ) -> ( N ` U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
14	1, 4, 12, 13	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
15	10, 14	unssd 3380	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
16	7, 8	lspssv 14370	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ V )
17	1, 4, 16	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ V )
18	15, 17	sstrd 3234	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ V )
19	7, 8	lspssid 14372	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V ) -> T C_ ( N ` T ) )
20	1, 2, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ ( N ` T ) )
21	7, 8	lspssid 14372	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U C_ ( N ` U ) )
22		unss12 3376	. . . 4 |- ( ( T C_ ( N ` T ) /\ U C_ ( N ` U ) ) -> ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) )
23	20, 21, 22	3imp3i2an 1207	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) )
24	7, 8	lspss 14371	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ V /\ ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
25	1, 18, 23, 24	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
26	7, 8	lspss 14371	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( T u. U ) ) C_ V /\ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) )
27	1, 17, 15, 26	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) )
28	7, 8	lspidm 14373	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V ) -> ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) = ( N ` ( T u. U ) ) )
29	1, 4, 28	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) = ( N ` ( T u. U ) ) )
30	27, 29	sseqtrd 3262	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
31	25, 30	eqssd 3241	1 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) = ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3195   C_ wss 3197   ` cfv 5318   Basecbs 13040   LModclmod 14259   LSpanclspn 14358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-sbg 13546  df-mgp 13892  df-ur 13931  df-ring 13969  df-lmod 14261  df-lssm 14325  df-lsp 14359

This theorem is referenced by:  lspun0  14397