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Theorem lspun 14415
Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v |- V = ( Base ` W )
lspss.n |- N = ( LSpan ` W )
Assertion
Ref Expression
lspun |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) = ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
Proof of Theorem lspun
StepHypRef Expression
1 simp1 1023 . . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> W e. LMod )
2 simp2 1024 . . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ V )
3 simp3 1025 . . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> U C_ V )
42, 3unssd 3383 . . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( T u. U ) C_ V )
5 ssun1 3370 . . . . . . 7 |- T C_ ( T u. U )
65a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ ( T u. U ) )
7 lspss.v . . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
8 lspss.n . . . . . . 7 |- N = ( LSpan ` W )
97, 8lspss 14412 . . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V /\ T C_ ( T u. U ) ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
101, 4, 6, 9syl3anc 1273 . . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
11 ssun2 3371 . . . . . . 7 |- U C_ ( T u. U )
1211a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> U C_ ( T u. U ) )
137, 8lspss 14412 . . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V /\ U C_ ( T u. U ) ) -> ( N ` U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
141, 4, 12, 13syl3anc 1273 . . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
1510, 14unssd 3383 . . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
167, 8lspssv 14411 . . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ V )
171, 4, 16syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ V )
1815, 17sstrd 3237 . . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ V )
197, 8lspssid 14413 . . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V ) -> T C_ ( N ` T ) )
201, 2, 19syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ ( N ` T ) )
217, 8lspssid 14413 . . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U C_ ( N ` U ) )
22 unss12 3379 . . . 4 |- ( ( T C_ ( N ` T ) /\ U C_ ( N ` U ) ) -> ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) )
2320, 21, 223imp3i2an 1209 . . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) )
247, 8lspss 14412 . . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ V /\ ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
251, 18, 23, 24syl3anc 1273 . 2 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
267, 8lspss 14412 . . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( T u. U ) ) C_ V /\ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) )
271, 17, 15, 26syl3anc 1273 . . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) )
287, 8lspidm 14414 . . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V ) -> ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) = ( N ` ( T u. U ) ) )
291, 4, 28syl2anc 411 . . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) = ( N ` ( T u. U ) ) )
3027, 29sseqtrd 3265 . 2 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
3125, 30eqssd 3244 1 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) = ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   u. cun 3198   C_ wss 3200   ` cfv 5326   Basecbs 13081   LModclmod 14300   LSpanclspn 14399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-sbg 13587  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-lmod 14302  df-lssm 14366  df-lsp 14400
This theorem is referenced by:  lspun0  14438
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