Theorem lspun 13901

Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	|- V = ( Base ` W )
lspss.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspun	|- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) = ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )

Proof of Theorem lspun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> W e. LMod )
2		simp2 1000	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ V )
3		simp3 1001	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> U C_ V )
4	2, 3	unssd 3336	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( T u. U ) C_ V )
5		ssun1 3323	. . . . . . 7 |- T C_ ( T u. U )
6	5	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ ( T u. U ) )
7		lspss.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
8		lspss.n	. . . . . . 7 |- N = ( LSpan ` W )
9	7, 8	lspss 13898	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V /\ T C_ ( T u. U ) ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
10	1, 4, 6, 9	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
11		ssun2 3324	. . . . . . 7 |- U C_ ( T u. U )
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> U C_ ( T u. U ) )
13	7, 8	lspss 13898	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V /\ U C_ ( T u. U ) ) -> ( N ` U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
14	1, 4, 12, 13	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
15	10, 14	unssd 3336	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
16	7, 8	lspssv 13897	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ V )
17	1, 4, 16	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ V )
18	15, 17	sstrd 3190	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ V )
19	7, 8	lspssid 13899	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V ) -> T C_ ( N ` T ) )
20	1, 2, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ ( N ` T ) )
21	7, 8	lspssid 13899	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U C_ ( N ` U ) )
22		unss12 3332	. . . 4 |- ( ( T C_ ( N ` T ) /\ U C_ ( N ` U ) ) -> ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) )
23	20, 21, 22	3imp3i2an 1185	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) )
24	7, 8	lspss 13898	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ V /\ ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
25	1, 18, 23, 24	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
26	7, 8	lspss 13898	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( T u. U ) ) C_ V /\ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) )
27	1, 17, 15, 26	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) )
28	7, 8	lspidm 13900	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V ) -> ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) = ( N ` ( T u. U ) ) )
29	1, 4, 28	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) = ( N ` ( T u. U ) ) )
30	27, 29	sseqtrd 3218	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
31	25, 30	eqssd 3197	1 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) = ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3152   C_ wss 3154   ` cfv 5255   Basecbs 12621   LModclmod 13786   LSpanclspn 13885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-ring 13497  df-lmod 13788  df-lssm 13852  df-lsp 13886

This theorem is referenced by:  lspun0  13924