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Theorem lspun 13743
Description: The span of union is the span of the union of spans. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v |- V = ( Base ` W )
lspss.n |- N = ( LSpan ` W )
Assertion
Ref Expression
lspun |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) = ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
Proof of Theorem lspun
StepHypRef Expression
1 simp1 999 . . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> W e. LMod )
2 simp2 1000 . . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ V )
3 simp3 1001 . . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> U C_ V )
42, 3unssd 3326 . . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( T u. U ) C_ V )
5 ssun1 3313 . . . . . . 7 |- T C_ ( T u. U )
65a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ ( T u. U ) )
7 lspss.v . . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
8 lspss.n . . . . . . 7 |- N = ( LSpan ` W )
97, 8lspss 13740 . . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V /\ T C_ ( T u. U ) ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
101, 4, 6, 9syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` T ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
11 ssun2 3314 . . . . . . 7 |- U C_ ( T u. U )
1211a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> U C_ ( T u. U ) )
137, 8lspss 13740 . . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V /\ U C_ ( T u. U ) ) -> ( N ` U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
141, 4, 12, 13syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` U ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
1510, 14unssd 3326 . . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
167, 8lspssv 13739 . . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ V )
171, 4, 16syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ V )
1815, 17sstrd 3180 . . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ V )
197, 8lspssid 13741 . . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V ) -> T C_ ( N ` T ) )
201, 2, 19syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> T C_ ( N ` T ) )
217, 8lspssid 13741 . . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U C_ V ) -> U C_ ( N ` U ) )
22 unss12 3322 . . . 4 |- ( ( T C_ ( N ` T ) /\ U C_ ( N ` U ) ) -> ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) )
2320, 21, 223imp3i2an 1185 . . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) )
247, 8lspss 13740 . . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ V /\ ( T u. U ) C_ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
251, 18, 23, 24syl3anc 1249 . 2 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) C_ ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
267, 8lspss 13740 . . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( T u. U ) ) C_ V /\ ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) )
271, 17, 15, 26syl3anc 1249 . . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) )
287, 8lspidm 13742 . . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( T u. U ) C_ V ) -> ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) = ( N ` ( T u. U ) ) )
291, 4, 28syl2anc 411 . . 3 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( N ` ( T u. U ) ) ) = ( N ` ( T u. U ) ) )
3027, 29sseqtrd 3208 . 2 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) C_ ( N ` ( T u. U ) ) )
3125, 30eqssd 3187 1 |- ( ( W e. LMod /\ T C_ V /\ U C_ V ) -> ( N ` ( T u. U ) ) = ( N ` ( ( N ` T ) u. ( N ` U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   u. cun 3142   C_ wss 3144   ` cfv 5238   Basecbs 12523   LModclmod 13628   LSpanclspn 13727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltadd 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-5 9016  df-6 9017  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-sets 12530  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-sca 12616  df-vsca 12617  df-0g 12774  df-mgm 12843  df-sgrp 12888  df-mnd 12901  df-grp 12971  df-minusg 12972  df-sbg 12973  df-mgp 13300  df-ur 13339  df-ring 13377  df-lmod 13630  df-lssm 13694  df-lsp 13728
This theorem is referenced by:  lspun0  13766
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