Theorem lsp0 14760

Description: Span of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn0.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lspsn0.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lsp0	|- ( W e. LMod -> ( N ` (/) ) = { .0. } )

Proof of Theorem lsp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn0.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
2		eqid 2238	. . . 4 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lsssn0 14707	. . 3 |- ( W e. LMod -> { .0. } e. ( LSubSp ` W ) )
4		0ss 3561	. . . 4 |- (/) C_ { .0. }
5		lspsn0.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
6	2, 5	lspssp 14740	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ { .0. } e. ( LSubSp ` W ) /\ (/) C_ { .0. } ) -> ( N ` (/) ) C_ { .0. } )
7	4, 6	mp3an3 1367	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { .0. } e. ( LSubSp ` W ) ) -> ( N ` (/) ) C_ { .0. } )
8	3, 7	mpdan 425	. 2 |- ( W e. LMod -> ( N ` (/) ) C_ { .0. } )
9		0ss 3561	. . . 4 |- (/) C_ ( Base ` W )
10		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
11	10, 2, 5	lspcl 14728	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ (/) C_ ( Base ` W ) ) -> ( N ` (/) ) e. ( LSubSp ` W ) )
12	9, 11	mpan2 429	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( N ` (/) ) e. ( LSubSp ` W ) )
13	1, 2	lss0ss 14708	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` (/) ) e. ( LSubSp ` W ) ) -> { .0. } C_ ( N ` (/) ) )
14	12, 13	mpdan 425	. 2 |- ( W e. LMod -> { .0. } C_ ( N ` (/) ) )
15	8, 14	eqssd 3265	1 |- ( W e. LMod -> ( N ` (/) ) = { .0. } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   ` cfv 5377   Basecbs 13352   0gc0g 13610   LModclmod 14623   LSubSpclss 14689   LSpanclspn 14723

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-sbg 13810  df-mgp 14218  df-ur 14263  df-ring 14302  df-lmod 14625  df-lssm 14690  df-lsp 14724

This theorem is used by:  lspuni0  14761  lss0v  14767