Theorem lsp0 13607

Description: Span of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn0.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lspsn0.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lsp0	|- ( W e. LMod -> ( N ` (/) ) = { .0. } )

Proof of Theorem lsp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn0.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
2		eqid 2187	. . . 4 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lsssn0 13554	. . 3 |- ( W e. LMod -> { .0. } e. ( LSubSp ` W ) )
4		0ss 3473	. . . 4 |- (/) C_ { .0. }
5		lspsn0.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
6	2, 5	lspssp 13587	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ { .0. } e. ( LSubSp ` W ) /\ (/) C_ { .0. } ) -> ( N ` (/) ) C_ { .0. } )
7	4, 6	mp3an3 1336	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { .0. } e. ( LSubSp ` W ) ) -> ( N ` (/) ) C_ { .0. } )
8	3, 7	mpdan 421	. 2 |- ( W e. LMod -> ( N ` (/) ) C_ { .0. } )
9		0ss 3473	. . . 4 |- (/) C_ ( Base ` W )
10		eqid 2187	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
11	10, 2, 5	lspcl 13575	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ (/) C_ ( Base ` W ) ) -> ( N ` (/) ) e. ( LSubSp ` W ) )
12	9, 11	mpan2 425	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( N ` (/) ) e. ( LSubSp ` W ) )
13	1, 2	lss0ss 13555	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` (/) ) e. ( LSubSp ` W ) ) -> { .0. } C_ ( N ` (/) ) )
14	12, 13	mpdan 421	. 2 |- ( W e. LMod -> { .0. } C_ ( N ` (/) ) )
15	8, 14	eqssd 3184	1 |- ( W e. LMod -> ( N ` (/) ) = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2158   C_ wss 3141   (/)c0 3434   {csn 3604   ` cfv 5228   Basecbs 12475   0gc0g 12722   LModclmod 13471   LSubSpclss 13536   LSpanclspn 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-minusg 12902  df-sbg 12903  df-mgp 13171  df-ur 13207  df-ring 13245  df-lmod 13473  df-lssm 13537  df-lsp 13571

This theorem is referenced by:  lspuni0  13608  lss0v  13614